کنکور تجربی ۱۴۰۱ · ریاضی

سوال ۱۱۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۱۱ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۱، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۱۱ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۱ · سوال ۱۱۱ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۱: تابع

تابع $f(x)=(-9+k^2)x^3+5$ اکیداً نزولی است. مجموع مقادیر صحیح k، چقدر است؟

گزینهٔ ۱: صفر
گزینهٔ ۲: ۱
گزینهٔ ۳: ۲
گزینهٔ ۴: ۶

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: شرط اکیداً نزولی بودن را مشخص می‌کنیم.
طبق تعریف، اگر $x_1<x_2$ باشد، برای تابع اکیداً نزولی باید $f(x_1)>f(x_2)$ برقرار باشد (ریاضی ۳، صفحهٔ ۷–۹). تابع $y=x^3$ در سراسر دامنهٔ خود اکیداً صعودی است؛ بنابراین ضرب آن در ضریبی منفی، تابعی اکیداً نزولی می‌سازد. افزودن مقدار ثابتِ $5$ نیز جهت تغییرات تابع را عوض نمی‌کند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۳–۵).

در این سؤال، برای $x_1<x_2$ داریم $x_1^3<x_2^3$ . پس شرط لازم و کافی برای اکیداً نزولی بودنِ $f(x)=(k^2-9)x^3+5$ این است که:
$k^2-9<0$
توجه کنید که در حالتِ $k^2-9=0$ ، تابع به صورت $f(x)=5$ ثابت می‌شود و اکیداً نزولی نیست.

گام دوم: نامساوی را حل می‌کنیم.
$k^2<9\quad\Longleftrightarrow\quad -3<k<3$
پس مقادیر صحیح مجاز عبارت‌اند از:
$k\in\{-2,-1,0,1,2\}$

گام سوم: مجموع مقادیر صحیح را به دست می‌آوریم.
$(-2)+(-1)+0+1+2=0$
مقادیر مثبت و منفیِ قرینه، یکدیگر را در جمع خنثی می‌کنند؛ بنابراین مجموع برابر صفر است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۲: ممکن است با شمردن مقدار صحیحِ نه مثبت و نه منفی، به‌جای محاسبهٔ مجموع همهٔ مقادیر مجاز، این گزینه انتخاب شود؛ اما سؤال مجموع مقادیر صحیحِ $k$ را می‌خواهد، نه تعداد آن مقدار خاص را.
گزینهٔ ۳: ممکن است بزرگ‌ترین مقدار صحیح مجاز، یعنی $2$ ، به‌جای مجموع مقادیر انتخاب شود. این مقدار به‌تنهایی پاسخ سؤال نیست و باید همهٔ مقادیر صحیح مجاز را با هم جمع کرد.
گزینهٔ ۴: ممکن است با نوشتن شرط نادرستِ $k^2\le 9$ و سپس جمع‌کردن فقط مقادیر مثبت، به $1+2+3=6$ برسیم. در واقع، نامساوی باید اکید باشد و مقادیر صحیح منفی نیز باید در مجموع منظور شوند.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

تعریف تابع اکیداً نزولی و نمودار تابع مکعبی را به یاد بیاورید؛ ضرب‌کردن تابع مکعبی در یک عدد منفی چه اثری بر جهت تغییرات آن دارد؟
جملهٔ ثابت بر صعودی یا نزولی بودن اثر ندارد؛ پس علامت ضریبِ $x^3$ را بررسی کنید. ضریبِ صفر نیز تابعی ثابت می‌سازد و قابل قبول نیست.
شرط لازم را به صورت $k^2<9$ بنویسید و به یک بازهٔ باز برای $k$ تبدیل کنید؛ سپس اعداد صحیح این بازه را بنویسید و مقادیر قرینه را با هم جمع کنید.

ریاضی ۳ · فصل ۱: تابع

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «تابع» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگان تمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۱

تمرین رایگان

تمرین در پنل یادگیری