دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم · ریاضی

سوال ۱۱۲ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

سوال ۱۱۲ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۱۲ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم · سوال ۱۱۲ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۱: تابع

اگر f(x)=2[x]−xf(x)=2[x]-x و g(x)=f([x+f(x)])g(x)=f([x+f(x)]) باشد، gof(−53)gof(-\frac{5}{3}) کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: ۴
  2. گزینهٔ ۲: −4-4
  3. گزینهٔ ۳: −6-6
  4. گزینهٔ ۴: ۶
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

طبق تعریف ترکیب توابع، ابتدا باید مقدار تابع داخلی، یعنی ff، را به دست آوریم و سپس آن را در gg قرار دهیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۴):
(g∘f)(−53)=g(f(−53))(g\circ f)(-\frac{5}{3})=g(f(-\frac{5}{3})).

گام اول: محاسبهٔ خروجی تابع داخلی
نماد [x][x] بیانگر بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساویِ xx است. چون
−2≤−53<−1-2\leq -\frac{5}{3}<-1،
داریم [−53]=−2[-\frac{5}{3}]=-2. بنابراین:
f(−53)=2(−2)−(−53)=−4+53=−73f(-\frac{5}{3})=2(-2)-(-\frac{5}{3})=-4+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}.

گام دوم: ساده‌کردن ضابطهٔ تابع دوم
با استفاده از ضابطهٔ داده‌شدهٔ ff:
x+f(x)=x+2[x]−x=2[x]x+f(x)=x+2[x]-x=2[x].
چون 2[x]2[x] عددی صحیح است، جزء صحیحِ آن با خودش برابر است؛ پس:
g(x)=f([x+f(x)])=f(2[x])g(x)=f([x+f(x)])=f(2[x]).
از طرفی، برای هر عدد صحیحِ nn داریم:
f(n)=2[n]−n=2n−n=nf(n)=2[n]-n=2n-n=n.
در نتیجه:
g(x)=2[x]g(x)=2[x].

گام سوم: محاسبهٔ مقدار ترکیب
اکنون خروجی گام اول را در ضابطهٔ ساده‌شدهٔ gg قرار می‌دهیم:
(g∘f)(−53)=g(−73)=2[−73](g\circ f)(-\frac{5}{3})=g(-\frac{7}{3})=2[-\frac{7}{3}].
چون −3≤−73<−2-3\leq -\frac{7}{3}<-2، جزء صحیحِ این کسر برابر −3-3 است؛ بنابراین:
(g∘f)(−53)=2(−3)=−6(g\circ f)(-\frac{5}{3})=2(-3)=-6.

پاسخ: گزینهٔ ۳

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: ممکن است با حذف علامت منفیِ ورودی میانی و گرفتن جزء صحیحِ قدرمطلق آن، به 2[73]=42[\frac{7}{3}]=4 برسید. اما ورودی میانی منفی است و جزء صحیح باید برای خودِ −73-\frac{7}{3} محاسبه شود، نه قدرمطلق آن.
  • گزینهٔ ۲: اگر جزء صحیحِ −73-\frac{7}{3} را به‌اشتباه −2-2 بگیرید، حاصل −4-4 می‌شود. جزء صحیح به معنای حذف قسمت اعشاری نیست؛ بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساویِ این کسر، −3-3 است.
  • گزینهٔ ۴: این گزینه می‌تواند حاصلِ حذف علامت منفیِ پاسخ در مرحلهٔ آخر باشد. برای ورودی صحیحِ منفی نیز رابطهٔ f(n)=nf(n)=n برقرار است و علامت خروجی مثبت نمی‌شود.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. تعریف ترکیب توابع در ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۴ را به یاد بیاورید: در g∘fg\circ f، ابتدا تابع داخلی اجرا می‌شود. همچنین در محاسبهٔ جزء صحیحِ اعداد منفی دقت کنید.
  2. پیش از جای‌گذاری در تابع دوم، عبارت x+f(x)x+f(x) را ساده کنید. این عبارت همیشه یک عدد صحیح است؛ سپس از این نکته استفاده کنید که برای عدد صحیحِ nn، داریم f(n)=nf(n)=n.
  3. خروجی تابع اول برای ورودی داده‌شده، −73-\frac{7}{3} است. اکنون با استفاده از رابطهٔ ساده‌شدهٔ g(t)=2[t]g(t)=2[t]، ابتدا دو عدد صحیحِ متوالیِ دو طرف این کسر را مشخص کنید.

ریاضی ۳ · فصل ۱: تابع

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «تابع» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری