سوال ۱۱۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

طبق تعریف تابع وارون، برای یافتن $f^{-1}(-19)$ باید ورودی‌ای را پیدا کنیم که خروجی تابع در آن برابر $-19$ باشد. همچنین وارون‌پذیری تابع مستلزم یک‌به‌یک بودن آن است (ریاضی ۳، صفحه‌های ۲۴–۲۵).

گام اول: بررسی شاخهٔ خطی
شرط شاخه‌ها را ساده می‌کنیم:
$2x+3\leq0\iff x\leq-\frac{3}{2}$.
پس شاخهٔ اول، تابع نزولی $f(x)=2-3x$ روی بازهٔ $(-\infty,-\frac{3}{2}]$ است. کمترین مقدار این شاخه در انتهای بستهٔ بازه به دست می‌آید:
$f(-\frac{3}{2})=2-3(-\frac{3}{2})=\frac{13}{2}$.
بنابراین برد شاخهٔ اول برابر $[\frac{13}{2},+\infty)$ است.

گام دوم: شرط یک‌به‌یک بودن شاخهٔ سهمی
شاخهٔ دوم روی بازهٔ $x>-\frac{3}{2}$ تعریف شده و ضابطهٔ آن را می‌توان به صورت زیر نوشت:
$2+2mx-x^2=2+m^2-(x-m)^2$.
طول رأس این سهمی برابر $m$ است. اگر رأس داخل بازهٔ شاخهٔ دوم باشد، دو نقطهٔ متمایز در دو طرف رأس خروجی یکسان خواهند داشت. پس لازم است:
$m\leq-\frac{3}{2}$.
با این شرط، شاخهٔ دوم در تمام بازهٔ خود اکیداً نزولی است. این همان توجه به محدودیت دامنه برای یک‌به‌یک شدن تابع درجهٔ دوم است که در تمرین‌های تابع وارون نیز مطرح شده است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۲۹).

گام سوم: جلوگیری از اشتراک برد دو شاخه
مقدار ضابطهٔ شاخهٔ دوم در مرز برابر است با:
$2+2m(-\frac{3}{2})-(-\frac{3}{2})^2=-\frac{1}{4}-3m$.
چون مرز در دامنهٔ شاخهٔ دوم نیست و این شاخه نزولی است، برد آن برابر است با:
$(-\infty,-\frac{1}{4}-3m)$.
برای اینکه هیچ خروجی مشترکی میان دو شاخه وجود نداشته باشد، باید:
$-\frac{1}{4}-3m\leq\frac{13}{2}\iff m\geq-\frac{9}{4}$.
تساوی نیز مجاز است؛ زیرا انتهای بالایی برد شاخهٔ دوم باز است. در نتیجه:
$-\frac{9}{4}\leq m\leq-\frac{3}{2}$.
تنها عدد صحیح این بازه $m=-2$ است.

گام چهارم: یافتن ورودی متناظر با خروجی خواسته‌شده
چون $-19$ در برد شاخهٔ اول نیست، باید از شاخهٔ دوم استفاده کنیم:
$2-4x-x^2=-19$.
پس:
$x^2+4x-21=0\iff(x+7)(x-3)=0$.
ریشه‌ها $x=-7$ و $x=3$ هستند؛ اما شاخهٔ دوم فقط برای $x>-\frac{3}{2}$ معتبر است، پس ریشهٔ $x=-7$ پذیرفته نیست. بنابراین:
$f(3)=-19\implies f^{-1}(-19)=3$.

پاسخ: گزینهٔ ۱