کنکور تجربی ۱۴۰۱ · ریاضی

سوال ۱۱۰ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۱۰ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۱، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۱۰ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۱ · سوال ۱۱۰ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۱: تابع

اگر $gof(x)=5x^2+11$ و $f(x)=2x$ باشد، کمترین مقدار $g(x-7)$ چقدر است؟

گزینهٔ ۱: $3$
گزینهٔ ۲: $7$
گزینهٔ ۳: $9$
گزینهٔ ۴: $11$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: ترکیب توابع را باز می‌کنیم. طبق تعریف، $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۳–۱۴). بنابراین با توجه به $f(x)=2x$ داریم:
$g(2x)=5x^2+11$ .

گام دوم: ضابطهٔ تابع $g$ را به دست می‌آوریم. قرار می‌دهیم $t=2x$ ؛ پس $x=\frac{t}{2}$ و در نتیجه:
$g(t)=5\left(\frac{t}{2}\right)^2+11=\frac{5}{4}t^2+11$ .

گام سوم: به‌جای ورودی تابع، عبارت $x-7$ را قرار می‌دهیم:
$g(x-7)=\frac{5}{4}(x-7)^2+11$ .

گام چهارم: چون مربع هر عدد حقیقی نامنفی است، داریم:
$(x-7)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad g(x-7)\geq 11$ .
این کران واقعاً به دست می‌آید؛ زیرا در $x=7$ ، جملهٔ مربعی صفر می‌شود و $g(7-7)=g(0)=11$ . پس کمترین مقدار برابر $11$ است. دقت کنید که $7$ محل وقوع کمینه است، نه مقدار آن.

پاسخ: گزینهٔ ۴

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: ممکن است با اشتباه در جای‌گذاری ورودی و محاسبهٔ جملهٔ ثابت به $3$ برسید؛ اما عبارت نهایی از یک جملهٔ نامنفی به‌علاوهٔ $11$ تشکیل شده است و نمی‌تواند $3$ شود.
گزینهٔ ۲: عدد $7$ محل وقوع کمینه است، نه مقدار کمینه. باید پس از یافتن $x=7$ ، مقدار $g(x-7)$ را محاسبه کنید.
گزینهٔ ۳: ممکن است به‌اشتباه ضریب $2$ در تابع داخلی را از جملهٔ ثابت کم کنید و به $9$ برسید. برای بازیابی تابع بیرونی باید ورودی را جای‌گذاری کرد؛ این کار جملهٔ ثابت $11$ را تغییر نمی‌دهد.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

تعریف ترکیب توابع را در درس دوم به یاد آورید: ابتدا تابع داخلی و سپس تابع بیرونی اعمال می‌شود.
از داده‌ها داریم $g(2x)=5x^2+11$ . با قرار دادن $t=2x$ و نوشتن $x$ برحسب $t$ ، ضابطهٔ $g(t)$ را پیدا کنید.
پس از جای‌گذاری $x-7$ در ضابطهٔ تابع، جملهٔ شامل مربع همواره نامنفی است. بررسی کنید این جمله برای کدام ورودی صفر می‌شود و چه جمله‌ای باقی می‌ماند.

ریاضی ۳ · فصل ۱: تابع

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «تابع» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگان تمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۱

تمرین رایگان

تمرین در پنل یادگیری