سوالات ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

۱. تبدیل شرط هندسی به شرط علامت
در ناحیهٔ سوم، هر دو مختصه منفی‌اند؛ یعنی $x<0$ و $y<0$. بنابراین برای رد شرط سؤال، کافی است نشان دهیم نمودار به ازای هر مقدار مجاز $a$ دست‌کم یک نقطه با این ویژگی دارد. ارتباط قرار گرفتن نمودار زیر محور افقی با منفی بودن مقدار عبارت، در ریاضی ۱، صفحهٔ ۹۰ بررسی شده است.

۲. پیدا کردن نقطه‌ای مستقل از پارامتر
معادله را بازنویسی می‌کنیم:
$y=ax^2+(3+2a)x=a(x^2+2x)+3x=ax(x+2)+3x$.
برای حذف جملهٔ وابسته به $a$، کافی است $x(x+2)=0$ باشد. از میان دو مقدار $x=0$ و $x=-2$، مقدار منفی را انتخاب می‌کنیم. با جای‌گذاری داریم:
$y=a(-2)(-2+2)+3(-2)=-6$.
پس نقطهٔ $(-2,-6)$ برای هر مقدار $a$ روی نمودار قرار دارد. این روشِ یافتن نقطه با جای‌گذاری طول در معادلهٔ سهمی، در ریاضی ۱، صفحه‌های ۷۸–۷۹ نیز به کار رفته است.

۳. نتیجه‌گیری
چون $-2<0$ و $-6<0$، این نقطه در ناحیهٔ سوم است؛ پس نمودار برای هر مقدار مجاز پارامتر از ناحیهٔ سوم می‌گذرد و هیچ مقداری شرط سؤال را برآورده نمی‌کند. همچنین طبق تعریف سهمی باید $a\ne0$ باشد (ریاضی ۱، صفحهٔ ۷۹)؛ البته حتی اگر حالت $a=0$ را نیز بررسی کنیم، همان نقطه روی خط حاصل قرار دارد و نتیجه تغییر نمی‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۱

ابتدا نامعادله را با تعیین علامت حل می‌کنیم و سپس مقادیر جزء صحیح را می‌شماریم. همین نامعادله در تمرین‌های کتاب نیز آمده است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۹۳).

گام اول: تعیین نقاط مرزی و دامنه
ریشه‌های صورت و مخرج عبارت‌اند از:
$4-2x=0\Rightarrow x=2$
$3x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{3}$
در $x=-\frac{1}{3}$ کسر تعریف نشده است؛ بنابراین این مقدار تحت هیچ شرایطی پذیرفته نمی‌شود. مطابق روش تعیین علامت کسر، علامت صورت و مخرج را در بازه‌های جداشده با این دو نقطه بررسی می‌کنیم (ریاضی ۱، صفحه‌های ۸۵ و ۹۱).

گام دوم: حل نامعادله

• اگر $x<-\frac{1}{3}$ باشد، صورت مثبت و مخرج منفی است؛ پس کسر منفی است.
• اگر $-\frac{1}{3}<x<2$ باشد، صورت و مخرج هر دو مثبت‌اند؛ پس کسر مثبت است.
• اگر $x>2$ باشد، صورت منفی و مخرج مثبت است؛ پس کسر منفی است.

در $x=2$، مقدار کسر صفر است و چون نامعادله از نوع بزرگ‌تر یا مساوی است، این نقطه پذیرفته می‌شود. بنابراین:
$x\in\left(-\frac{1}{3},2\right]$

گام سوم: یافتن مقادیر جزء صحیح
با ضرب طرف‌های نامعادله در عدد مثبتِ $3$، جهت نامساوی‌ها تغییر نمی‌کند (ریاضی ۱، صفحه‌های ۸۸–۸۹):
$-1<3x\le 6$
نماد $[3x]$ جزء صحیحِ $3x$، یعنی بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساوی آن است. با اینکه مقدار $3x=-1$ مجاز نیست، برای $-1<3x<0$ داریم $[3x]=-1$. از طرف دیگر، مقدار $3x=6$ مجاز است و جزء صحیح آن نیز $6$ است.
پس تمام مقادیر ممکن عبارت‌اند از:
$[3x]\in\{-1,0,1,2,3,4,5,6\}$
این مجموعه دارای $6-(-1)+1=8$ عضو است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: ضابطهٔ نمودار منتقل‌شده را بنویسیم.
طبق قاعدهٔ انتقال افقی، برای انتقال نمودار به اندازهٔ $2$ واحد در جهت منفی محور $x$، باید به‌جای $x$، عبارت $x+2$ را در ضابطه قرار دهیم (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۱۳–۱۱۵). بنابراین:
$g(x)=f(x+2)=4(x+2)-(x+2)^2$
با بسط و ساده‌سازی داریم:
$g(x)=4x+8-x^2-4x-4=4-x^2$.

گام دوم: مختصات نقطهٔ برخورد را پیدا کنیم.
در نقطهٔ مشترک، دو تابع برای یک طول یکسان، عرض یکسانی دارند؛ پس:
$f(x)=g(x)$
$4x-x^2=4-x^2$
$4x=4\Rightarrow x=1$.
اکنون عرض نقطه را از تابع اولیه به دست می‌آوریم:
$y=f(1)=4(1)-1^2=3$.
پس نقطهٔ برخورد دو نمودار $P=(1,3)$ است.

گام سوم: فاصلهٔ این نقطه از مبدأ را حساب کنیم.
با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس، فاصلهٔ نقطهٔ $P=(x,y)$ از مبدأ برابر $d=\sqrt{x^2+y^2}$ است. بنابراین:
$d=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: معیار بررسی نقطه را بنویسیم.
طبق ویژگی نمودار تابع و وارون آن، با جابه‌جایی دو مؤلفهٔ هر نقطه، نقطهٔ متناظر روی نمودار وارون به دست می‌آید (ریاضی ۳، صفحهٔ ۲۴–۲۵). بنابراین برای اینکه نقطهٔ $(a,b)$ روی وارون قرار بگیرد، باید داشته باشیم:
$f(b)=a$.
پس نیازی به حل معادلهٔ درجهٔ سوم و پیدا کردن ضابطهٔ وارون نیست.

گام دوم: نقطهٔ گزینهٔ دوم را بررسی کنیم.
برای نقطهٔ $(\frac58,\frac12)$، مؤلفهٔ دوم را در تابع اصلی قرار می‌دهیم:
$f(\frac12)=(\frac12)^3-\frac12+1=\frac18-\frac48+\frac88=\frac58$.
بنابراین نقطهٔ $(\frac12,\frac58)$ روی نمودار تابع اصلی قرار دارد و با جابه‌جایی مؤلفه‌ها، نقطهٔ $(\frac58,\frac12)$ روی رابطهٔ وارون قرار می‌گیرد؛ پس پاسخ موردنظر سؤال، گزینهٔ دوم است.

نکتهٔ دقت در صورت سؤال: تابع داده‌شده روی کل اعداد حقیقی یک‌به‌یک نیست؛ برای نمونه $f(-1)=f(0)=f(1)=1$. طبق کتاب، چنین تابعی بدون محدود کردن مناسب دامنه، «تابع وارون» ندارد (ریاضی ۳، صفحهٔ ۲۷–۲۸). بنابراین صورت سؤال از نظر تعیین دامنه دقیق نیست؛ پاسخ تأییدشده با تعبیر «رابطهٔ وارون» یا با فرض محدودسازی مناسب دامنه به دست می‌آید.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: ترکیب توابع را باز می‌کنیم. طبق تعریف، $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۳–۱۴). بنابراین با توجه به $f(x)=2x$ داریم:
$g(2x)=5x^2+11$.

گام دوم: ضابطهٔ تابع $g$ را به دست می‌آوریم. قرار می‌دهیم $t=2x$؛ پس $x=\frac{t}{2}$ و در نتیجه:
$g(t)=5\left(\frac{t}{2}\right)^2+11=\frac{5}{4}t^2+11$.

گام سوم: به‌جای ورودی تابع، عبارت $x-7$ را قرار می‌دهیم:
$g(x-7)=\frac{5}{4}(x-7)^2+11$.

گام چهارم: چون مربع هر عدد حقیقی نامنفی است، داریم:
$(x-7)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad g(x-7)\geq 11$.
این کران واقعاً به دست می‌آید؛ زیرا در $x=7$، جملهٔ مربعی صفر می‌شود و $g(7-7)=g(0)=11$. پس کمترین مقدار برابر $11$ است. دقت کنید که $7$ محل وقوع کمینه است، نه مقدار آن.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: شرط اکیداً نزولی بودن را مشخص می‌کنیم.
طبق تعریف، اگر $x_1<x_2$ باشد، برای تابع اکیداً نزولی باید $f(x_1)>f(x_2)$ برقرار باشد (ریاضی ۳، صفحهٔ ۷–۹). تابع $y=x^3$ در سراسر دامنهٔ خود اکیداً صعودی است؛ بنابراین ضرب آن در ضریبی منفی، تابعی اکیداً نزولی می‌سازد. افزودن مقدار ثابتِ $5$ نیز جهت تغییرات تابع را عوض نمی‌کند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۳–۵).

در این سؤال، برای $x_1<x_2$ داریم $x_1^3<x_2^3$. پس شرط لازم و کافی برای اکیداً نزولی بودنِ $f(x)=(k^2-9)x^3+5$ این است که:
$k^2-9<0$
توجه کنید که در حالتِ $k^2-9=0$، تابع به صورت $f(x)=5$ ثابت می‌شود و اکیداً نزولی نیست.

گام دوم: نامساوی را حل می‌کنیم.
$k^2<9\quad\Longleftrightarrow\quad -3<k<3$
پس مقادیر صحیح مجاز عبارت‌اند از:
$k\in\{-2,-1,0,1,2\}$

گام سوم: مجموع مقادیر صحیح را به دست می‌آوریم.
$(-2)+(-1)+0+1+2=0$
مقادیر مثبت و منفیِ قرینه، یکدیگر را در جمع خنثی می‌کنند؛ بنابراین مجموع برابر صفر است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. ابتدا بازهٔ زاویهٔ داخل تانژانت را تعیین می‌کنیم. از شرط سؤال داریم:
$-\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{4}\quad\Longrightarrow\quad 0<\frac{\pi}{4}-x<\frac{\pi}{2}$
پس این زاویه در ربع اول قرار دارد. طبق تغییرات تابع تانژانت، وقتی زاویه در بازهٔ $(0,\frac{\pi}{2})$ تغییر می‌کند، تانژانت همهٔ مقادیر مثبت را می‌پذیرد، ولی هرگز صفر نمی‌شود (ریاضی ۳، صفحه‌های ۳۷–۳۸). بنابراین شرط لازم و کافی برای وجود چنین زاویه‌ای این است که:
$\frac{1-m}{2+m}>0$

۲. برای مثبت بودن کسر، صورت و مخرج باید هم‌علامت باشند؛ ضمن اینکه مخرج نباید صفر شود.

حالت اول، هر دو مثبت باشند:
$1-m>0\quad\text{و}\quad 2+m>0$
در نتیجه:
$m<1\quad\text{و}\quad m>-2$
پس در این حالت داریم:
$-2<m<1$

حالت دوم، هر دو منفی باشند:
$1-m<0\quad\text{و}\quad 2+m<0$
یعنی باید هم‌زمان $m>1$ و $m<-2$ برقرار باشد که ناممکن است.

۳. دو سر بازه نیز پذیرفته نیستند: در $m=-2$ کسر تعریف نمی‌شود و در $m=1$ مقدار آن صفر است؛ در حالی که تانژانت زاویهٔ مسئله حتماً مثبت است. از طرفی، برای هر مقدار داخل بازهٔ به‌دست‌آمده، کسر مثبت است و مطابق ویژگی تانژانت در ربع اول، زاویه‌ای مجاز و در نتیجه مقداری مجاز برای $x$ وجود دارد.

بنابراین مجموعهٔ مقادیر پارامتر برابر است با:
$m\in(-2,1)$

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: از اتحاد اصلی مثلثات استفاده می‌کنیم:
$\sin^2 x+\cos^2 x=1$
این رابطه برای هر زاویه برقرار است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۴۳). بنابراین معادلهٔ داده‌شده را چنین بازنویسی می‌کنیم:
$2\sin^2 x+\cos^2 x=\sin^2 x+(\sin^2 x+\cos^2 x)=\sin^2 x+1$
پس:
$\sin^2 x+1=\frac{4}{3}\Rightarrow\sin^2 x=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$

گام دوم: با استفادهٔ دوباره از همان اتحاد، مربع کسینوس را به دست می‌آوریم:
$\cos^2 x=1-\sin^2 x=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
چون $\cos^2 x\neq0$ است، تانژانت تعریف شده است.

گام سوم: طبق رابطهٔ تانژانت با سینوس و کسینوس (ریاضی ۱، صفحه‌های ۳۱–۳۲)، داریم:
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\Rightarrow\tan^2 x=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$
در نتیجه:
$\tan^2 x=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\times\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$
برای این محاسبه نیازی به تعیین ناحیهٔ زاویه یا علامت سینوس و کسینوس نیست، زیرا با مربع نسبت‌ها سروکار داریم.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: بیشینه و کمینه را از نمودار می‌خوانیم. بالاترین نقطهٔ نمودار ارتفاع $5$ و پایین‌ترین نقطهٔ آن ارتفاع $1$ دارد؛ بنابراین $y_{\max}=5$ و $y_{\min}=1$.

گام دوم: طبق رابطه‌های کتاب برای تابع $y=a\cos bx+c$، داریم $y_{\max}=c+|a|$ و $y_{\min}=c-|a|$ (ریاضی ۳، صفحهٔ ۳۵). پس در این سؤال:
$c+|a|=5$ و $c-|a|=1$.

گام سوم: با جمع کردن دو تساوی، عبارت‌های مربوط به دامنه حذف می‌شوند:
$2c=5+1=6 \Rightarrow c=3$.

در واقع، $c$ میانگین بیشینه و کمینه و ارتفاع خط میانی نمودار است؛ یعنی $c=\frac{y_{\max}+y_{\min}}{2}$. بنابراین برای محاسبهٔ آن به دورهٔ تناوب یا مقدار $b$ نیاز نداریم.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول ـ تعیین دامنه: چون تانژانت در معادله وجود دارد، باید $\cos x\ne0$ باشد؛ بنابراین در بازهٔ داده‌شده، نقاط $x=\frac{\pi}{2}$ و $x=\frac{3\pi}{2}$ مجاز نیستند. این محدودیت با دامنه و نمودار تانژانت سازگار است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۳۹).

گام دوم ـ تبدیل معادله به معادله‌ای برحسب کسینوس: با استفاده از اتحاد $1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$ داریم:
$8\cos x-\tan^2 x=1\iff8\cos x=1+\tan^2 x\iff8\cos x=\frac{1}{\cos^2 x}$.
چون $\cos x\ne0$، می‌توانیم دو طرف را در $\cos^2 x$ ضرب کنیم:
$8\cos^3 x=1\iff\cos^3 x=\frac18\iff\cos x=\frac12$.

گام سوم ـ یافتن و شمارش زاویه‌ها: طبق روش حل معادلات کسینوسی در کتاب، از $\cos x=\cos\alpha$ نتیجه می‌شود $x=2k\pi\pm\alpha$، که در آن $k\in\mathbb Z$ است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۶). چون $\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$، داریم:
$x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3}$.
در بازهٔ $[0,2\pi]$ فقط زاویه‌های $\frac{\pi}{3}$ و $\frac{5\pi}{3}$ به دست می‌آیند. هر دو در دامنهٔ معادله‌اند و تبدیل‌های انجام‌شده نیز هم‌ارز بوده‌اند؛ پس تعداد جواب‌ها برابر $2$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: استفاده از عبور نمودار از مبدأ
نقطهٔ مبدأ، یعنی $(0،0)$، روی نمودار قرار دارد؛ بنابراین $f(0)=0$. با جای‌گذاری در ضابطه داریم:
$a+b(\frac{1}{2})^0=0$
چون $(\frac{1}{2})^0=1$، نتیجه می‌شود:
$a+b=0 \quad\Rightarrow\quad a=-b$.

گام دوم: استفاده از شرط وارون
طبق ارتباط تابع و وارون، اگر $f^{-1}(y)=x$ باشد، آنگاه $f(x)=y$ است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۶۱–۶۲). پس:
$f^{-1}(-1)=-1 \quad\Rightarrow\quad f(-1)=-1$.
نیازی به یافتن ضابطهٔ وارون نیست. کافی است در تابع اصلی جای‌گذاری کنیم:
$a+b(\frac{1}{2})^{-1}=-1$.
با توجه به $(\frac{1}{2})^{-1}=2$، داریم:
$a+2b=-1$.

گام سوم: حل دستگاه و محاسبهٔ عبارت
از تفریق رابطهٔ $a+b=0$ از رابطهٔ $a+2b=-1$ به‌دست می‌آید:
$b=-1$.
پس:
$a=-b=1$.
بنابراین:
$a-b=1-(-1)=2$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول ــ نوشتن رابطهٔ مناسب:
طبق تعریف کتاب، واریانس میانگینِ مجذور اختلاف داده‌ها از میانگین است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۵۸–۱۵۹):
$\sigma^2=\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar X)^2}{N}$
انحراف معیار نیز جذر واریانس است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۵۹–۱۶۰).

گام دوم ــ محاسبهٔ مجموع مجذور اختلاف‌ها:
اختلاف هشت داده از میانگین، برابر $+1$ یا $-1$ است. چون $(+1)^2=(-1)^2=1$، هر یک از این هشت داده سهمی برابر $1$ در مجموع مجذورها دارد. اختلاف دادهٔ باقی‌مانده صفر است و سهم آن نیز $0^2=0$ خواهد بود. پس:
$\sum_{i=1}^{9}(x_i-\bar X)^2=8\times1+0=8$

گام سوم ــ محاسبهٔ واریانس و انحراف معیار:
تعداد کل داده‌ها $N=9$ است؛ داده‌ای که اختلافش از میانگین صفر است نیز در شمار داده‌ها قرار می‌گیرد. بنابراین:
$\sigma^2=\frac{8}{9}$
اکنون جذر می‌گیریم:
$\sigma=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: میانگین و میانهٔ داده‌های اولیه را مقایسه می‌کنیم.
داده‌ها را به صورت $a,a+1,\ldots,a+n-1$ در نظر می‌گیریم. به دلیل تقارن اعداد متوالی، میانگین برابر نصف مجموع اولین و آخرین داده است:
$\bar{x}=\frac{a+(a+n-1)}{2}=a+\frac{n-1}{2}$.

طبق روش کتاب، میانه در تعداد فرد، دادهٔ وسط و در تعداد زوج، میانگین دو دادهٔ وسط است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۵۴–۱۵۵).
اگر $n=2k+1$ باشد، دادهٔ وسط برابر $a+k$ است؛ پس $Q_2=a+k=\bar{x}$.
اگر $n=2k$ باشد، دو دادهٔ وسط $a+k-1$ و $a+k$ هستند؛ بنابراین:
$Q_2=\frac{(a+k-1)+(a+k)}{2}=a+k-\frac{1}{2}=\bar{x}$.
پس در هر دو حالت، میانگین و میانهٔ داده‌های اولیه برابرند.

گام دوم: اثر افزودن مقدار ثابت را بررسی می‌کنیم.
با افزودن $2$ به هر یک از $n$ داده، مجموع داده‌ها $2n$ افزایش می‌یابد؛ بنابراین میانگین جدید برابر است با:
$\bar{x}_{\mathrm{جدید}}=\frac{n\bar{x}+2n}{n}=\bar{x}+2$.
ترتیب داده‌ها نیز تغییر نمی‌کند و دادهٔ وسط یا هر دو دادهٔ وسط، $2$ افزایش می‌یابند؛ پس:
$Q_{2,\mathrm{جدید}}=Q_2+2$.

گام سوم: اختلاف دو معیار جدید را حساب می‌کنیم:
$Q_{2,\mathrm{جدید}}-\bar{x}_{\mathrm{جدید}}=(Q_2+2)-(\bar{x}+2)=Q_2-\bar{x}=0$.
بنابراین اختلاف میانه و میانگین داده‌های جدید صفر است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: حد راستِ تابع را پیدا می‌کنیم.
برای $1<x<2$ داریم $[x]=1$ و $|x-1|=x-1$. در نتیجه، شرط سؤال به صورت زیر درمی‌آید:
$\lim_{x\to1^+}3g(x)=6\quad\Longrightarrow\quad\lim_{x\to1^+}g(x)=2$.
در بررسی حد یک‌طرفه، باید جزءصحیح و علامت عبارت داخل قدرمطلق را در همان سمت مشخص کنیم؛ نمونهٔ کاربرد این نکته در کتاب آمده است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۵۶–۵۷).

گام دوم: ضرایب عبارت زیر رادیکال را تعیین می‌کنیم.
از حد به‌دست‌آمده داریم:
$\lim_{x\to1^+}g^2(x)=4$.
همچنین، برای نقاط دامنه در نزدیکی $1$:
$ax^2+bx+c=(x-1)^2g^2(x)$.
با گرفتن حد از دو طرف، چون $g^2(x)$ حد متناهی دارد، نتیجه می‌شود:
$a+b+c=0$.
پس می‌توان نوشت:
$ax^2+bx+c=a(x-1)^2+(2a+b)(x-1)$.
بنابراین:
$g^2(x)=a+\frac{2a+b}{x-1}$.
اگر $2a+b\ne0$ باشد، جملهٔ کسری هنگام $x\to1^+$ حد متناهی ندارد؛ زیرا صورت ثابت و ناصفر است و مخرج به صفر میل می‌کند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۵۶–۵۷). پس برای سازگاری با حد متناهیِ مربع تابع، باید:
$2a+b=0$.
در این صورت $g^2(x)=a$ و از حد آن نتیجه می‌گیریم:
$a=4$.
اکنون از روابط ضرایب داریم:
$b=-8,\qquad c=4$.

گام سوم: حد در بی‌نهایت را محاسبه می‌کنیم.
با جای‌گذاری ضرایب:
$g(x)=\frac{\sqrt{4x^2-8x+4}}{|x-1|}=\frac{\sqrt{4(x-1)^2}}{|x-1|}=\frac{2|x-1|}{|x-1|}=2\qquad(x\ne1)$.
پس تابع در تمام نقاط دامنه ثابت است و مطابق تعریف حد در بی‌نهایت، حد آن نیز همین مقدار است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۵۹–۶۰):
$\boxed{\lim_{x\to+\infty}g(x)=2}$.
پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: ساده‌سازی عبارت زیر حد
در محاسبهٔ حد، مقدار عبارت برای $x\neq0$ و نزدیک صفر اهمیت دارد؛ بنابراین عامل مشترک $x$ را حذف می‌کنیم:
$\frac{f(x)}{x}=\frac{x\left(\sqrt{\frac{2x+1}{5x+9}}\right)^3}{x}=\left(\sqrt{\frac{2x+1}{5x+9}}\right)^3.$
پس صفر شدن مخرجِ عبارت اولیه در نقطهٔ موردنظر، مانع این ساده‌سازی در اطراف آن نقطه نیست.

گام دوم: محاسبهٔ حد کسر داخل رادیکال
طبق قانون حد تقسیم، چون حد مخرج برابر $9$ و ناصفر است، داریم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۰–۱۳۱):
$\lim_{x\to0}\frac{2x+1}{5x+9}=\frac{2(0)+1}{5(0)+9}=\frac{1}{9}.$

گام سوم: اعمال ریشه و توان
کسر داخل رادیکال در اطراف صفر مثبت است و حد آن نیز مثبت است؛ پس با قانون حد ریشه، حد رادیکال را محاسبه می‌کنیم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۳–۱۳۴):
$\lim_{x\to0}\sqrt{\frac{2x+1}{5x+9}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}.$
اکنون طبق قانون حد توان، حدِ توان سوم برابر توان سومِ حد است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۰):
$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}.$

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. تعیین شرط مماس بودن

«نقطه‌ای به طول واحد» یعنی نقطه‌ای با $x=1$. شیب خط مماس در این نقطه برابر مشتق تابع در همان نقطه است؛ این ارتباط بر پایهٔ حد شیب خط‌های قاطع است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۶۸ و صفحات ۷۰–۷۱).

معادلهٔ خط را به صورت شیب ـ عرض از مبدأ می‌نویسیم:
$4y-3x=n\quad\Rightarrow\quad y=\frac{3}{4}x+\frac{n}{4}$
پس شرط شیب عبارت است از:
$f'(1)=\frac{3}{4}$

۲. محاسبهٔ پارامتر تابع

برای تابع $f(x)=\frac{x^2+mx+1}{x+3}$، با قاعدهٔ مشتق خارج‌قسمت داریم:
$f'(x)=\frac{(2x+m)(x+3)-(x^2+mx+1)}{(x+3)^2}=\frac{x^2+6x+3m-1}{(x+3)^2}$
بنابراین:
$f'(1)=\frac{6+3m}{16}=\frac{3}{4}$
در نتیجه:
$6+3m=12\quad\Rightarrow\quad m=2$

۳. تعیین نقطهٔ تماس و ثابت خط

نقطهٔ تماس هم روی نمودار و هم روی خط مماس قرار دارد؛ از همین ویژگی در نوشتن معادلهٔ مماس استفاده می‌کنیم (ریاضی ۳، صفحات ۷۵–۷۶، تمرین اول).

با جای‌گذاری پارامتر در تابع:
$f(1)=\frac{1+2+1}{1+3}=1$
پس نقطهٔ تماس $(1,1)$ است. با قرار دادن مختصات آن در معادلهٔ خط:
$n=4(1)-3(1)=1$
در پایان:
$m+n=2+1=3$

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: اطلاعات نقطهٔ ماکزیمم را استخراج می‌کنیم.
طبق شکل، نقطهٔ ماکزیمم روی محور عمودی و دارای عرض $4$ است؛ بنابراین $f(0)=4$ و در نتیجه $c=4$. همچنین، چون تابع چندجمله‌ای و مشتق‌پذیر است، مشتق آن در نقطهٔ اکسترمم نسبی صفر می‌شود (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۷–۱۰۸). پس با توجه به $f'(x)=3x^2+2ax+b$ داریم $f'(0)=b=0$. بنابراین تابع به صورت $f(x)=x^3+ax^2+4$ درمی‌آید.

گام دوم: شرط‌های نقطهٔ مینیمم را می‌نویسیم.
طول این نقطه را $t$ می‌نامیم. طبق شکل، $t>0$ است و نقطهٔ مینیمم روی محور افقی قرار دارد؛ پس $f(t)=0$. دقت کنید که سؤال طول نقطهٔ مینیمم، یعنی $t$، را می‌خواهد، نه مقدار مینیمم، یعنی $f(t)$ را؛ این دو مفهوم در تعریف اکسترمم نسبی از هم متمایزند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۴–۱۰۵).
از شرط صفر بودن مشتق نیز داریم:
$f'(t)=3t^2+2at=t(3t+2a)=0$.
چون $t>0$، نتیجه می‌شود $3t+2a=0$، یعنی $a=-\frac{3t}{2}$.

گام سوم: از قرار داشتن مینیمم روی محور افقی استفاده می‌کنیم.
با جای‌گذاری در شرط $f(t)=0$ داریم:
$t^3+at^2+4=0$،
$t^3-\frac{3t}{2}t^2+4=0$،
$-\frac{t^3}{2}+4=0$.
پس $t^3=8$ و در نتیجه $t=2$.

برای بررسی نوع اکسترمم، از $a=-3$ به $f'(x)=3x(x-2)$ می‌رسیم. مشتق در بازهٔ $(0,2)$ منفی و در بازهٔ $(2,+\infty)$ مثبت است؛ بنابراین در $x=2$ تغییر علامت از منفی به مثبت رخ می‌دهد و طبق آزمون مشتق اول، این نقطه واقعاً مینیمم نسبی است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۸–۱۰۹).

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول ـ تشخیص اجزای مخروط:
پای عمود نقطهٔ $B$ بر خط $L$ را $H$ می‌نامیم. در دوران پاره‌خط، نقطهٔ $A$ رأس مخروط و دایرهٔ حاصل از دوران $B$، محیط قاعدهٔ آن است. بنابراین ارتفاع $h=AH$، شعاع قاعده $r=BH$ و طول مولد $AB=3\sqrt{3}$ است.
از قضیهٔ فیثاغورس در مثلث قائم‌الزاویهٔ $AHB$ داریم:
$r^2+h^2=(3\sqrt{3})^2=27$
پس:
$r^2=27-h^2,\qquad 0<h<3\sqrt{3}$.

گام دوم ـ تشکیل تابع حجم:
مطابق روش بهینه‌سازی کتاب، ابتدا با استفاده از محدودیت هندسی، حجم را به تابعی تک‌متغیره تبدیل می‌کنیم (ریاضی ۳، صفحات ۱۱۴–۱۱۵):
$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$
$V(h)=\frac{\pi}{3}(27-h^2)h=\frac{\pi}{3}(27h-h^3)$.

گام سوم ـ یافتن نقطهٔ بحرانی:
مشتق حجم نسبت به ارتفاع برابر است با:
$V'(h)=\frac{\pi}{3}(27-3h^2)=\pi(9-h^2)$.
بنابراین:
$V'(h)=0\Rightarrow h^2=9$.
چون ارتفاع مثبت است، تنها ریشهٔ مجاز $h=3$ است.

گام چهارم ـ بررسی بیشینه بودن:
برای $0<h<3$ مشتق مثبت و برای $3<h<3\sqrt{3}$ مشتق منفی است. پس حجم تا $h=3$ افزایش و پس از آن کاهش می‌یابد؛ بنابراین در این ارتفاع، بیشینهٔ مطلق حجم حاصل می‌شود. این همان روش تشخیص بیشینه با تغییر علامت مشتق از مثبت به منفی است که در کتاب به کار رفته است (ریاضی ۳، صفحات ۱۱۶–۱۱۷).
پس ارتفاع مخروط با بیشترین حجم برابر $3$ است.
پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: تشخیص روش شمارش
چون فقط انتخاب کتاب‌ها مهم است و ترتیب آن‌ها مطرح نیست، از ترکیب استفاده می‌کنیم. مطابق تعریف کتاب، تعداد انتخاب‌های $r$ عضوی از $n$ شیء متمایز برابر است با $\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۳۳–۱۳۵).

از میان $7$ کتاب، ریاضی، فیزیک و زیست را جدا در نظر می‌گیریم؛ بنابراین $4$ کتاب دیگر داریم که محدودیتی برای انتخابشان وجود ندارد.

گام دوم: بررسی شرط‌ها
شرط اول می‌گوید حضور ریاضی، حضور زیست را الزامی می‌کند؛ اما حضور زیست الزاماً به معنای حضور ریاضی نیست. شرط دوم نیز اجازه نمی‌دهد فیزیک و زیست هم‌زمان انتخاب شوند.

گام سوم: دسته‌بندی بر اساس حضور زیست
حالت اول ـ زیست انتخاب شود: در این صورت فیزیک نباید انتخاب شود. زیست یک جای انتخاب را پر کرده است و باید $3$ کتاب دیگر را از میان $5$ کتابِ باقی‌مانده، یعنی ریاضی و $4$ کتاب دیگر، انتخاب کنیم. ریاضی در این حالت می‌تواند انتخاب شود یا نشود، زیرا زیست از قبل انتخاب شده و شرط اول برقرار است. پس تعداد انتخاب‌ها برابر است با:
$\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!2!}=10$.

حالت دوم ـ زیست انتخاب نشود: در این صورت ریاضی نیز نباید انتخاب شود؛ زیرا انتخاب ریاضی بدون زیست، شرط اول را نقض می‌کند. پس فقط فیزیک و $4$ کتاب دیگر در دسترس‌اند و باید $4$ کتاب از این $5$ کتاب انتخاب کنیم. انتخاب فیزیک در این حالت مجاز است، چون زیست انتخاب نشده است. بنابراین:
$\binom{5}{4}=\frac{5!}{4!1!}=5$.

گام چهارم: جمع حالت‌ها
این دو حالت هم‌پوشانی ندارند و همهٔ انتخاب‌های مجاز را پوشش می‌دهند؛ بنابراین تعداد آن‌ها را جمع می‌کنیم. این روشِ تفکیک حالت‌های جدا و جمع تعدادشان در مثال درس ترکیب نیز به کار رفته است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۳۷):
$\binom{5}{3}+\binom{5}{4}=10+5=15$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول: پیشامدها را مشخص می‌کنیم. $A$ را پیشامد «ابتلای فرد به بیماری» و $B$ را پیشامد «بهبود یافتن فرد» می‌نامیم. بنابراین داده‌های سؤال عبارت‌اند از:
$P(A)=0.08$ و $P(B\mid A)=0.5$.
دقت کنید که احتمال دوم مربوط به افراد مبتلاست؛ پس احتمال شرطی است، نه احتمال بهبود یک فرد دلخواه از جامعه.

گام دوم: سؤال احتمال «ابتلا و بهبود» را می‌خواهد. رخ دادن هر دو پیشامد با اشتراک آن‌ها نمایش داده می‌شود؛ بنابراین باید $P(A\cap B)$ را بیابیم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۳–۱۴۴).

طبق رابطهٔ احتمال شرطی داریم:
$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.
پس با ضرب دو طرف در $P(A)$:
$P(A\cap B)=P(A)\times P(B\mid A)$ (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۵).
این رابطه به فرض استقلال نیاز ندارد؛ زیرا احتمال بهبود به شرط ابتلا در صورت سؤال داده شده است.

گام سوم: با جای‌گذاری داده‌ها به دست می‌آوریم:
$P(A\cap B)=0.08\times0.5=0.04$.

گام چهارم: چون پاسخ به درصد خواسته شده است، احتمال اعشاری را در $100$ ضرب می‌کنیم:
$0.04\times100=4$.
بنابراین احتمال ابتلا و سپس بهبود فرد برابر با $4\%$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: تشخیص فاصلۀ موردنظر

چون $BH$ ارتفاعِ وارد از رأس $B$ بر ضلع $AC$ است، طول آن برابر فاصلۀ نقطۀ $B$ از خط $AC$ خواهد بود؛ مطابق تعریف فاصلۀ نقطه از خط، این فاصله در راستای عمود بر خط اندازه‌گیری می‌شود (ریاضی ۲، صفحهٔ ۸).

گام دوم: یافتن مختصات رأس $B$

رأس $B$ محل تقاطع دو خط $AB$ و $BC$ است؛ بنابراین دستگاه زیر را حل می‌کنیم:

$\begin{cases}y+2x=7\\2y-7x=-19\end{cases}$

از معادلۀ اول داریم $y=7-2x$. با جای‌گذاری در معادلۀ دوم:

$2(7-2x)-7x=-19$

$14-11x=-19\quad\Rightarrow\quad x=3$

پس:

$y=7-2(3)=1\quad\Rightarrow\quad B(3،1)$

گام سوم: محاسبۀ فاصلۀ رأس از ضلع مقابل

طبق فرمول فاصلۀ نقطۀ $P(x_0,y_0)$ از خط $ax+by+c=0$ داریم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۸):

$d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

معادلۀ خط $AC$ را به صورت استاندارد می‌نویسیم:

$AC:\;-3x+4y-17=0$

اکنون با جای‌گذاری مختصات $B$:

$BH=\dfrac{|-3(3)+4(1)-17|}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}=\dfrac{|-22|}{\sqrt{9+16}}=\dfrac{22}{5}=4.4$

پس طول ارتفاع با مقدار درج‌شده در گزینۀ اول برابر است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول ـ مقایسهٔ ارتفاع‌ها:
مساحت مثلث $XYZ$ را با $S_{XYZ}$ نشان می‌دهیم. در مثلث $BCE$ قاعده را $BC$ و در مثلث $BDE$ قاعده را $DE$ می‌گیریم. چون $DE\parallel BC$، ارتفاع هر دو مثلث برابر فاصلهٔ دو خط موازی است؛ آن را $h$ می‌نامیم. پس با همان روش مقایسهٔ مساحت‌ها در فعالیت اثبات قضیهٔ تالس داریم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۳۴–۳۵):
$\frac{S_{BCE}}{S_{BDE}}=\frac{\frac{1}{2}BC\times h}{\frac{1}{2}DE\times h}=\frac{BC}{DE}$.

گام دوم ـ استفاده از تعمیم تالس:
از موازی‌بودن $DE$ و $BC$ نتیجه می‌شود (ریاضی ۲، صفحهٔ ۳۵–۳۶):
$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}\quad\Rightarrow\quad\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}$.
طول ضلع کامل برابر است با:
$AB=AD+DB=5+7=12$.

گام سوم ـ محاسبهٔ نسبت خواسته‌شده:
$\frac{S_{BCE}}{S_{BDE}}=\frac{12}{5}=2.4$.
بنابراین مساحت مثلث $BCE$ برابر $2.4$ برابر مساحت مثلث $BDE$ است. توجه کنید که این دو مثلث را متشابه فرض نکردیم؛ برابری ارتفاع‌ها علت برابری نسبت مساحت‌ها با نسبت قاعده‌هاست.

پاسخ: گزینهٔ ۴