سوال ۱۱۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۱۷ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۱، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۱۷ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۱ · سوال ۱۱۷ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۳: تابع

تابع $f(x)=a+b(\frac{1}{2})^x$ از مبدأ مختصات عبور می‌کند. اگر $f^{-1}(-1)=-1$ باشد، حاصل $a-b$ چقدر است؟

گزینهٔ ۱: صفر
گزینهٔ ۲: ۱
گزینهٔ ۳: ۲
گزینهٔ ۴: ۳

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: استفاده از عبور نمودار از مبدأ
نقطهٔ مبدأ، یعنی $(0،0)$ ، روی نمودار قرار دارد؛ بنابراین $f(0)=0$ . با جای‌گذاری در ضابطه داریم:
$a+b(\frac{1}{2})^0=0$
چون $(\frac{1}{2})^0=1$ ، نتیجه می‌شود:
$a+b=0 \quad\Rightarrow\quad a=-b$ .

گام دوم: استفاده از شرط وارون
طبق ارتباط تابع و وارون، اگر $f^{-1}(y)=x$ باشد، آنگاه $f(x)=y$ است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۶۱–۶۲). پس:
$f^{-1}(-1)=-1 \quad\Rightarrow\quad f(-1)=-1$ .
نیازی به یافتن ضابطهٔ وارون نیست. کافی است در تابع اصلی جای‌گذاری کنیم:
$a+b(\frac{1}{2})^{-1}=-1$ .
با توجه به $(\frac{1}{2})^{-1}=2$ ، داریم:
$a+2b=-1$ .

گام سوم: حل دستگاه و محاسبهٔ عبارت
از تفریق رابطهٔ $a+b=0$ از رابطهٔ $a+2b=-1$ به‌دست می‌آید:
$b=-1$ .
پس:
$a=-b=1$ .
بنابراین:
$a-b=1-(-1)=2$ .

پاسخ: گزینهٔ ۳

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: ممکن است از عبور نمودار از مبدأ، به‌اشتباه $a-b=0$ برداشت شود؛ درحالی‌که جای‌گذاری $x=0$ رابطهٔ $a+b=0$ را می‌دهد، نه صفر بودن تفاضل را.
گزینهٔ ۲: ممکن است دانش‌آموز پس از محاسبهٔ $a=1$ ، همان را پاسخ بداند؛ اما سؤال مقدار $a-b$ را می‌خواهد و باید مقدار $b$ نیز در محاسبه وارد شود.
گزینهٔ ۴: ممکن است دانش‌آموز هنگام جای‌گذاری، به‌اشتباه $(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{2}$ بگیرد؛ این خطا همراه با $a+b=0$ به $a=-2$ و $b=2$ می‌رسد و حتی مقدار این گزینه را نیز توجیه نمی‌کند. توان منفی باید با معکوس‌کردن پایه محاسبه شود و مقدار درست آن $2$ است.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

مفهوم وارون تابع را در ریاضی ۲، صفحه‌های ۶۱–۶۲، مرور کنید: در گذر از تابع به وارون، جای ورودی و خروجی عوض می‌شود. همچنین عبور نمودار از مبدأ چه مقداری برای $f(0)$ تعیین می‌کند؟
دو دادهٔ سؤال را به دو معادله تبدیل کنید: عبور از مبدأ یعنی $f(0)=0$ و شرط وارون نیز یعنی $f(-1)=-1$ . در جای‌گذاری دوم، به توان منفی دقت کنید.
با جای‌گذاری به $a+b=0$ و $a+2b=-1$ می‌رسید. دو معادله را از هم کم کنید تا $b$ به‌دست آید؛ سپس از $a=-b$ برای محاسبهٔ عبارت خواسته‌شده استفاده کنید.

فصل «تابع» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.