سوال ۱۲۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

گام اول: ضابطهٔ وارون را پیدا می‌کنیم. مطابق روش کتاب، رابطهٔ تابع را برای متغیر ورودی حل می‌کنیم (ریاضی ۲، صفحات ۶۲–۶۴):

$y=\frac{1}{x+a}\Rightarrow x+a=\frac{1}{y}\Rightarrow x=\frac{1}{y}-a$

پس با جابه‌جایی نام متغیرها داریم:

$f^{-1}(x)=\frac{1}{x}-a$

دامنهٔ تابع اصلی شرط $x\ne-a$ و دامنهٔ وارون شرط $x\ne0$ را دارد. باید این محدودیت‌ها را پیش از ساده‌سازی در نظر بگیریم (ریاضی ۲، صفحات ۵۰–۵۱).

گام دوم: در هر نقطهٔ تقاطع، مقدار دو تابع یکسان است؛ بنابراین:

$\frac{1}{x+a}=\frac{1}{x}-a$

با ضرب دو طرف در $x(x+a)$، که در دامنهٔ مشترک صفر نیست، به دست می‌آوریم:

$x=x+a-ax(x+a)$

$\Rightarrow a\bigl(x(x+a)-1\bigr)=0$

چون $a\ne0$، نتیجه می‌شود:

$x^2+ax-1=0$

هیچ‌یک از مقادیر ممنوعِ $x=0$ و $x=-a$ ریشهٔ این معادله نیستند، زیرا با جای‌گذاری هرکدام، طرف چپ برابر $-1$ می‌شود. همچنین ممیّز معادله $a^2+4>0$ است؛ پس دو ریشهٔ حقیقی متمایز، همان طول‌های دو نقطهٔ تقاطع‌اند.

گام سوم: طول نقاط را با فرمول حل معادلهٔ درجهٔ دوم می‌نویسیم:

$x_1=\frac{-a+\sqrt{a^2+4}}{2},\qquad x_2=\frac{-a-\sqrt{a^2+4}}{2}$

بنابراین اختلاف طول آن‌ها برابر است با:

$|x_1-x_2|=\sqrt{a^2+4}$

طبق دادهٔ سؤال:

$\sqrt{a^2+4}=2\sqrt{10}\Rightarrow a^2+4=40\Rightarrow a^2=36\Rightarrow a=\pm6$

از میان مقادیر پیشنهادی، فقط $6$ وجود دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۲