سوال ۱۲۲ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۲۲ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۵، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۲۲ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۵ · سوال ۱۲۲ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۶: حد و پیوستگی

این سوال در دفترچه شکل دارد؛ این‌جا شکل به‌صورت متنی توصیف شده است.

نمودار تابع f به‌صورت زیر رسم شده است. حاصل $\lim_{x\to 2^-}\frac{3-f(x)}{x^2-4}$ کدام است؟

شکل: نمودار تابع f در دستگاه مختصات: یک پاره‌خط راست از نقطه $(-1,0)$ روی محور x شروع شده، از نقطه $(0,1)$ روی محور y می‌گذرد و تا نقطه‌ای توخالی در $(2,3)$ ادامه دارد (خط‌چین از آن نقطه به محور y در ارتفاع 3 و به محور x در طول 2). سپس برای x بزرگ‌تر از 2 نمودار به‌صورت خط افقی $y=3$ ادامه می‌یابد. روی محور y اعداد 1 و 3 و روی محور x اعداد $-1$ و 2 نوشته شده است.

گزینهٔ ۱: $-\frac{1}{4}$
گزینهٔ ۲: $-\frac{1}{2}$
گزینهٔ ۳: $-\frac{1}{5}$
گزینهٔ ۴: $-\frac{1}{3}$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

۱. انتخاب شاخهٔ مناسب نمودار
چون $x\to2^-$ است، باید شاخهٔ مایلِ سمت چپ را در نظر بگیریم، نه شاخهٔ افقی سمت راست. مقدار تابع در خود نقطه و توخالی بودن آن، در محاسبهٔ این حد نقشی ندارد؛ در حد، رفتار تابع در نزدیکی نقطه بررسی می‌شود (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۲۷–۱۲۸).

۲. به‌دست‌آوردن ضابطهٔ شاخهٔ مایل
این خط از دو نقطهٔ $(-1,0)$ و $(0,1)$ می‌گذرد؛ پس شیب آن برابر است با:
$m=\frac{1-0}{0-(-1)}=1$ .
با توجه به عرض از مبدأ $1$ ، برای $x<2$ در نزدیکی نقطه داریم:
$f(x)=x+1$ .
بنابراین:
$\lim_{x\to2^-}\frac{3-f(x)}{x^2-4}=\lim_{x\to2^-}\frac{3-(x+1)}{x^2-4}=\lim_{x\to2^-}\frac{2-x}{x^2-4}$ .

۳. رفع حالت مبهم
با جایگذاری مستقیم، صورت و مخرج هر دو به صفر میل می‌کنند؛ بنابراین هنوز نمی‌توان قانون حد تقسیم را به کار برد، زیرا این قانون به ناصفر بودن حد مخرج نیاز دارد (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۳۰–۱۳۱).
داریم:
$2-x=-(x-2),\qquad x^2-4=(x-2)(x+2)$ .
هنگام نزدیک شدن به نقطه، $x\ne2$ است؛ پس می‌توان عامل مشترک را حذف کرد. این همان روش ساده‌سازیِ مثال کتاب است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۳۲–۱۳۳):
$\frac{2-x}{x^2-4}=\frac{-(x-2)}{(x-2)(x+2)}=-\frac{1}{x+2}$ .

۴. محاسبهٔ حد عبارت ساده‌شده
اکنون حد مخرج ناصفر است؛ پس:
$\lim_{x\to2^-}\left(-\frac{1}{x+2}\right)=-\frac{1}{2+2}=-\frac{1}{4}$ .

پاسخ: گزینهٔ ۱

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۲: ممکن است پس از حذف عامل مشترک، عامل باقی‌ماندهٔ مخرج را به‌اشتباه $x$ بگیرید و به $-\frac{1}{2}$ برسید؛ اما تجزیهٔ درست $x^2-4=(x-2)(x+2)$ است و عامل باقی‌مانده $x+2$ خواهد بود.
گزینهٔ ۳: ممکن است در عبارت ساده‌شدهٔ $-\frac{1}{x+2}$ ، ارتفاع نقطهٔ توخالی یعنی $3$ را به‌جای $x$ قرار دهید و به $-\frac{1}{5}$ برسید؛ درحالی‌که متغیر $x$ به طول آن نقطه، یعنی $2$ ، میل می‌کند.
گزینهٔ ۴: ممکن است مقدار حد تابع، یعنی $3$ ، را مخرج نهایی تصور کنید و به $-\frac{1}{3}$ برسید؛ اما مخرج پس از تجزیه و ساده‌سازی $x+2$ است، نه $f(x)$ .

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

در حد چپ، فقط شاخهٔ نمودار در سمت چپ نقطه اهمیت دارد. همچنین توخالی بودن نقطه مانع وجود حد نیست؛ تمرین‌های نموداری ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۲۷–۱۲۸، را به یاد بیاورید.
معادلهٔ شاخهٔ مایل را از دو نقطهٔ $(-1,0)$ و $(0,1)$ به دست آورید و در صورت کسر قرار دهید. مخرج را نیز با اتحاد تفاضل دو مربع تجزیه کنید.
صورت به $-(x-2)$ تبدیل می‌شود و مخرج برابر $(x-2)(x+2)$ است. عامل مشترک را برای $x\ne2$ حذف کنید؛ سپس حد عبارت باقی‌مانده را بگیرید.

فصل «حد و پیوستگی» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.