سوال ۱۲۴ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول ـ استفاده از شرط غیرصفر بودن حد:
با استفاده از حد ریشه‌ها داریم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۳–۱۳۴):
$\lim_{x\to8}\sqrt[3]{x}=2$ و $\lim_{x\to8}\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}=2$.
پس حد صورت برابر است با:
$\lim_{x\to8}b\bigl(\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2\bigr)=0$.
اگر $8a-b\ne0$ باشد، طبق قانون حد تقسیم، حد کسر صفر خواهد شد (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۰–۱۳۱). چون سؤال حد غیرصفر می‌خواهد، باید:
$8a-b=0\quad\Rightarrow\quad b=8a$.
همچنین $a\ne0$؛ زیرا در غیر این صورت $b=0$ نیز می‌شود و مخرج همواره صفر خواهد بود. بنابراین:
$\frac{b\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2b}{ax-b}=8\frac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8}$.

گام دوم ـ رفع ابهام با مزدوج:
صورت و مخرج را در مزدوج صورت ضرب می‌کنیم:
$8\frac{\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}-2}{x-8}=\frac{8(\sqrt[3]{x}-2)}{(x-8)\bigl(\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2\bigr)}$.
از اتحاد تفاضل مکعب‌ها داریم:
$x-8=(\sqrt[3]{x}-2)\bigl((\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4\bigr)$.
در محاسبهٔ حد، $x\ne8$ است؛ پس می‌توان عامل مشترک $\sqrt[3]{x}-2$ را حذف کرد. این همان روش حذف عامل مشترک در رفع ابهام است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۲–۱۳۳). در نتیجه:
$\frac{8(\sqrt[3]{x}-2)}{(x-8)\bigl(\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2\bigr)}=\frac{8}{\bigl((\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4\bigr)\bigl(\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2\bigr)}$.

گام سوم ـ محاسبهٔ حد عبارت ساده‌شده:
اکنون حد مخرج غیرصفر است و می‌توان از قانون حد تقسیم استفاده کرد:
$\lim_{x\to8}\frac{8}{\bigl((\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4\bigr)\bigl(\sqrt{2+\sqrt[3]{x}}+2\bigr)}=\frac{8}{(4+4+4)(2+2)}=\frac{8}{48}=\frac{1}{6}$.
پاسخ: گزینهٔ ۲