سوال ۱۲۸ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

نماد $[t]$ نشان‌دهندهٔ جزءصحیح است؛ یعنی بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر یا مساوی $t$. برای بررسی حد تابع جزءصحیح در نقاط پرش، باید رفتار آن را از چپ و راست جداگانه بررسی کنیم؛ نمونهٔ این رفتار در کتاب آمده است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۹–۱۴۰).

۱. محاسبهٔ حد چپ
برای نزدیک‌شدن از چپ، می‌گذاریم $x=-2-h$ که $0<h<1$ است. در این صورت:
$\frac{2-x}{2}=2+\frac{h}{2}\quad\Longrightarrow\quad \left[\frac{2-x}{2}\right]=2$
و
$\frac{x+2}{3}=-\frac{h}{3}\quad\Longrightarrow\quad \left[\frac{x+2}{3}\right]=-1$.
بنابراین:
$\lim_{x\to-2^-}f(x)=2\times2+a(-1)=4-a$.

۲. محاسبهٔ حد راست
برای نزدیک‌شدن از راست، می‌گذاریم $x=-2+h$ که $0<h<1$ است. اکنون:
$\frac{2-x}{2}=2-\frac{h}{2}\quad\Longrightarrow\quad \left[\frac{2-x}{2}\right]=1$
و
$\frac{x+2}{3}=\frac{h}{3}\quad\Longrightarrow\quad \left[\frac{x+2}{3}\right]=0$.
پس:
$\lim_{x\to-2^+}f(x)=2\times1+a\times0=2$.

۳. استفاده از شرط وجود حد
برای وجود حد دوطرفه، حدهای چپ و راست باید برابر باشند؛ این معیار در تمرین‌های بررسی وجود حد نیز به کار می‌رود (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۲۷–۱۲۸). بنابراین:
$4-a=2\quad\Longrightarrow\quad a=2$.
در نتیجه، چون $0\le\frac{2}{3}<1$، داریم:
$\left[\frac{a}{3}\right]=\left[\frac{2}{3}\right]=0$.

پاسخ: گزینهٔ ۴