سوال ۱۲۹ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

برای آنکه حد دوطرفه برابر $-\infty$ باشد، هر دو حد یک‌طرفه باید برابر $-\infty$ باشند. بنابراین، مانند بررسی حدهای یک‌طرفه و عبارت‌های شامل جزءصحیح در تمرین‌های کتاب، علامت صورت و مخرج را در دو طرف نقطه بررسی می‌کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۵۷).

گام اول: بررسی از سمت چپ
برای $-2<x<-1$ داریم $[x]=-2$؛ پس:
$\frac{1-k[x]}{x^2-1}=\frac{1+2k}{(x-1)(x+1)}$.
در این بازه، هر دو عامل مخرج منفی‌اند؛ بنابراین هنگام $x\to-1^-$، مخرج به صفر از سمت مثبت میل می‌کند. برای آنکه کسر به $-\infty$ میل کند، باید:
$1+2k<0\quad\Longrightarrow\quad k<-\frac12$.
اگر صورت صفر باشد، کسر در این سمت صفر است و حد خواسته‌شده حاصل نمی‌شود؛ پس نامساوی حتماً اکید است.

گام دوم: بررسی از سمت راست
برای $-1<x<0$ داریم $[x]=-1$؛ در نتیجه:
$\frac{1-k[x]}{x^2-1}=\frac{1+k}{(x-1)(x+1)}$.
در این بازه، عامل اول منفی و عامل دوم مثبت است؛ پس هنگام $x\to-1^+$، مخرج به صفر از سمت منفی میل می‌کند. برای آنکه کسر به $-\infty$ میل کند، باید صورت مثبت باشد:
$1+k>0\quad\Longrightarrow\quad k>-1$.
در این سمت نیز صفرشدن صورت، حد صفر می‌دهد و پذیرفتنی نیست.

گام سوم: تعیین ناحیهٔ نقطه
با اشتراک دو شرط به دست می‌آید:
$-1<k<-\frac12$.
چون $\pi>0$، داریم:
$-\pi<k\pi<-\frac{\pi}{2}$.
پس طول نقطه، یعنی $k\pi$، منفی است. همچنین طبق دایرهٔ مثلثاتی، کسینوس زاویه‌های این بازه منفی است؛ بنابراین:
$k\pi<0,\qquad \cos(k\pi)<0$.
در نتیجه هر دو مختصهٔ نقطه منفی‌اند و نقطه در ناحیهٔ سوم قرار دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۳