سوال ۱۲۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

۱. تعیین پارامتر از صفرشدن مخرج

صورت در نقطهٔ $x=\frac{\pi}{3}$ حدی متناهی دارد؛ بنابراین اگر حد مخرج ناصفر باشد، حد کسر نیز متناهی خواهد بود. پس لازم است:

$a\cos\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}=0$

$\frac{a}{2}-\frac{\sqrt3}{2}=0\quad\Longrightarrow\quad a=\sqrt3.$

۲. بررسی علامت مخرج از سمت راست

با جای‌گذاری مقدار پارامتر و استفاده از اتحاد تفاضل دو زاویه داریم:

$\sqrt3\cos x-\sin x=2\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right).$

وقتی $x$ از راست به $\frac{\pi}{3}$ نزدیک می‌شود، عبارت $\frac{\pi}{3}-x$ منفی و نزدیک صفر است؛ پس مخرج با مقادیر منفی به صفر میل می‌کند.

۳. تعیین علامت لازم برای صورت

طبق قاعدهٔ حد نامتناهیِ کسر، علامت صورت و علامت مخرج در نزدیکی نقطه، علامت بی‌نهایت را تعیین می‌کنند؛ این قاعده برای حدهای یک‌طرفه نیز برقرار است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۵۶–۵۷). چون مخرج به صفرِ منفی میل می‌کند، برای داشتن حد $-\infty$ باید حد صورت مثبت باشد:

$\lim_{x\to(\frac{\pi}{3})^+}(\sqrt3x+b)=\frac{\pi}{\sqrt3}+b>0.$

در نتیجه:

$b>-\frac{\pi}{\sqrt3}.$

۴. انتخاب کوچک‌ترین عدد صحیح

چون $1<\frac{\pi}{\sqrt3}<2$، داریم:

$-2<-\frac{\pi}{\sqrt3}<-1.$

پس برای $b$ صحیح، حد صورت نمی‌تواند صفر باشد و کوچک‌ترین عدد صحیحِ بزرگ‌تر از مرز بالا، $b=-1$ است. در این حالت صورت به عددی مثبت و مخرج به صفرِ منفی میل می‌کند؛ بنابراین حد واقعاً $-\infty$ خواهد بود.

پاسخ: گزینهٔ ۴