سوال ۱۲۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

گام اول: حد راستِ تابع را پیدا می‌کنیم.
برای $1<x<2$ داریم $[x]=1$ و $|x-1|=x-1$. در نتیجه، شرط سؤال به صورت زیر درمی‌آید:
$\lim_{x\to1^+}3g(x)=6\quad\Longrightarrow\quad\lim_{x\to1^+}g(x)=2$.
در بررسی حد یک‌طرفه، باید جزءصحیح و علامت عبارت داخل قدرمطلق را در همان سمت مشخص کنیم؛ نمونهٔ کاربرد این نکته در کتاب آمده است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۵۶–۵۷).

گام دوم: ضرایب عبارت زیر رادیکال را تعیین می‌کنیم.
از حد به‌دست‌آمده داریم:
$\lim_{x\to1^+}g^2(x)=4$.
همچنین، برای نقاط دامنه در نزدیکی $1$:
$ax^2+bx+c=(x-1)^2g^2(x)$.
با گرفتن حد از دو طرف، چون $g^2(x)$ حد متناهی دارد، نتیجه می‌شود:
$a+b+c=0$.
پس می‌توان نوشت:
$ax^2+bx+c=a(x-1)^2+(2a+b)(x-1)$.
بنابراین:
$g^2(x)=a+\frac{2a+b}{x-1}$.
اگر $2a+b\ne0$ باشد، جملهٔ کسری هنگام $x\to1^+$ حد متناهی ندارد؛ زیرا صورت ثابت و ناصفر است و مخرج به صفر میل می‌کند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۵۶–۵۷). پس برای سازگاری با حد متناهیِ مربع تابع، باید:
$2a+b=0$.
در این صورت $g^2(x)=a$ و از حد آن نتیجه می‌گیریم:
$a=4$.
اکنون از روابط ضرایب داریم:
$b=-8,\qquad c=4$.

گام سوم: حد در بی‌نهایت را محاسبه می‌کنیم.
با جای‌گذاری ضرایب:
$g(x)=\frac{\sqrt{4x^2-8x+4}}{|x-1|}=\frac{\sqrt{4(x-1)^2}}{|x-1|}=\frac{2|x-1|}{|x-1|}=2\qquad(x\ne1)$.
پس تابع در تمام نقاط دامنه ثابت است و مطابق تعریف حد در بی‌نهایت، حد آن نیز همین مقدار است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۵۹–۶۰):
$\boxed{\lim_{x\to+\infty}g(x)=2}$.
پاسخ: گزینهٔ ۳