سوال ۱۲۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

طبق تعریف کتاب، همسایگی محذوفِ یک نقطه از حذف همان نقطه از یک بازهٔ بازِ شامل آن به دست می‌آید؛ پس خودِ نقطه عضو مجموعه نیست، ولی نقطه‌های نزدیک به آن در هر دو سمت عضو مجموعه‌اند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۵۳).

گام اول: تعیین مرز دو بازه
در مجموعهٔ $(4b-a,5)\cup(2,a+b)$، عدد $4$ نباید در هیچ‌یک از دو بازه باشد. از طرفی، نقطه‌های نزدیک به $4$ از سمت راست باید در بازهٔ اول قرار بگیرند؛ بنابراین ابتدای این بازه دقیقاً برابر $4$ است:
$4b-a=4$.
همچنین نقطه‌های نزدیک به $4$ از سمت چپ باید در بازهٔ دوم باشند؛ پس انتهای این بازه دقیقاً برابر $4$ است:
$a+b=4$.
اگر این مرزها از $4$ فاصله داشتند، یا خودِ $4$ وارد مجموعه می‌شد یا بخشی از نقطه‌های نزدیک آن در مجموعه نبود.

گام دوم: حل دستگاه
با جمع‌کردن دو معادله داریم:
$(4b-a)+(a+b)=4+4\Rightarrow 5b=8\Rightarrow b=\frac{8}{5}$.
از معادلهٔ دوم نیز به دست می‌آید:
$a=4-b=4-\frac{8}{5}=\frac{12}{5}$.

گام سوم: محاسبهٔ عبارت خواسته‌شده
$b-a=\frac{8}{5}-\frac{12}{5}=-\frac{4}{5}$.
برای بررسی، با این مقادیر مجموعهٔ داده‌شده برابر $(4,5)\cup(2,4)=(2,5)\setminus\{4\}$ می‌شود که دقیقاً یک همسایگی محذوفِ $4$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۱