دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم · ریاضی

سوال ۱۲۲ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

سوال ۱۲۲ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۲۲ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم · سوال ۱۲۲ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

در یک متوازی‌الاضلاع به مساحت ۵۴، نسبت دو ضلع مجاور ۲ به ۳ است. اگر زاویه بزرگ‌تر بین دو ضلع مجاور ۱۵۰ درجه باشد، محیط متوازی‌الاضلاع کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 3030
  2. گزینهٔ ۲: 1515
  3. گزینهٔ ۳: 15215\sqrt{2}
  4. گزینهٔ ۴: 30230\sqrt{2}
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

۱. نمایش طول ضلع‌ها با یک متغیر
چون نسبت دو ضلع مجاور 2:32:3 است، طول آن‌ها را a=2xa=2x و b=3xb=3x می‌گیریم که در آن x>0x>0 است.

۲. محاسبهٔ ارتفاع با سینوس
زاویه‌های مجاور در متوازی‌الاضلاع مکمل‌اند؛ پس زاویهٔ کوچک‌تر برابر است با:
180∘−150∘=30∘180^\circ-150^\circ=30^\circ.
اگر ضلع aa را قاعده بگیریم، با رسم ارتفاع و استفاده از نسبت سینوس در مثلث قائم‌الزاویه داریم h=bsin⁡30∘h=b\sin30^\circ. مطابق مقدار سینوس زاویهٔ ویژه در کتاب، sin⁡30∘=12\sin30^\circ=\frac{1}{2}؛ بنابراین h=3x2h=\frac{3x}{2} (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۲–۳۳).

۳. استفاده از مساحت داده‌شده
مساحت متوازی‌الاضلاع برابر قاعده ضرب‌در ارتفاع است؛ بنابراین:
54=(2x)(3x2)=3x254=(2x)\left(\frac{3x}{2}\right)=3x^2.
پس:
x2=18⇒x=32x^2=18\quad\Rightarrow\quad x=3\sqrt{2}.
ریشهٔ مثبت را انتخاب می‌کنیم، زیرا طول ضلع‌ها مثبت است.

۴. محاسبهٔ محیط
ضلع‌های مقابل متوازی‌الاضلاع برابرند؛ پس:
P=2(a+b)=2(2x+3x)=10x=302P=2(a+b)=2(2x+3x)=10x=30\sqrt{2}.

پاسخ: گزینهٔ ۴

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: اگر مساحت را به‌اشتباه برابر حاصل‌ضرب دو ضلع مجاور بگیرید، از 6x2=546x^2=54 به x=3x=3 و محیط 3030 می‌رسید. حاصل‌ضرب دو ضلع فقط برای متوازی‌الاضلاعِ قائم‌الزاویه برابر مساحت است؛ اینجا باید ارتفاع را با سینوس زاویه پیدا کرد.
  • گزینهٔ ۲: این پاسخ می‌تواند حاصل دو خطا باشد: حذف اثر زاویه در مساحت و سپس حساب‌کردن مجموع دو ضلع مجاور به‌جای محیط. با این دو خطا، x=3x=3 و 2x+3x=152x+3x=15 به دست می‌آید.
  • گزینهٔ ۳: اگر طول ضلع‌ها را درست به دست آورید، ولی فقط دو ضلع مجاور را جمع کنید، به 15215\sqrt{2} می‌رسید. این مقدار نصف محیط است؛ هر کدام از این ضلع‌ها یک ضلع مقابلِ هم‌اندازه دارد.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. روش پیدا کردن ارتفاع با استفاده از سینوس در مثلث قائم‌الزاویه را به یاد بیاورید؛ مساحت متوازی‌الاضلاع برابر قاعده ضرب‌در ارتفاع است.
  2. دو ضلع مجاور را 2x2x و 3x3x بگیرید. زاویهٔ حادهٔ متوازی‌الاضلاع مکمل زاویهٔ داده‌شده است؛ با رسم ارتفاع، از سینوس این زاویهٔ حاده استفاده کنید.
  3. معادلهٔ مساحت به صورت 54=(2x)(3x)×1254=(2x)(3x)\times\frac{1}{2} درمی‌آید. ریشهٔ مثبت را برای xx انتخاب کنید و به یاد داشته باشید که محیط، دو برابر مجموع دو ضلع مجاور است.

ریاضی ۱ · فصل ۲: مثلثات

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «مثلثات» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری