سوال ۱۲۴ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

ابتدا با رابطهٔ زاویه‌های متمم، معادله را به برابری دو سینوس تبدیل می‌کنیم:
$\sin 2x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)$.

طبق روش حل معادلات سینوسی، اگر $\sin A=\sin B$ باشد، آنگاه $A=B+2k\pi$ یا $A=\pi-B+2k\pi$ است که $k\in\mathbb Z$؛ بنابراین باید هر دو دستهٔ جواب را بررسی کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۴–۴۵).

دستهٔ اول:
$2x=\frac{\pi}{2}-3x+2k\pi$

پس:
$5x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}$.

اکنون شرط بازه را اعمال می‌کنیم:
$0\le\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}\le\pi\quad\Rightarrow\quad-\frac14\le k\le\frac94$.

بنابراین مقادیر صحیح مجاز $k=0,1,2$ هستند و جواب‌های این دسته عبارت‌اند از:
$\frac{\pi}{10},\quad\frac{\pi}{2},\quad\frac{9\pi}{10}$.

دستهٔ دوم:
$2x=\pi-\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)+2k\pi$

پس:
$x=-\frac{\pi}{2}-2k\pi$.

شرط بازه برای این دسته می‌دهد:
$0\le-\frac{\pi}{2}-2k\pi\le\pi\quad\Rightarrow\quad-\frac34\le k\le-\frac14$.

در این محدوده هیچ عدد صحیحی وجود ندارد؛ پس دستهٔ دوم جوابی در بازهٔ موردنظر ندارد.

در نتیجه، معادله در بازهٔ $[0,\pi]$ دارای $3$ جواب متمایز است.

پاسخ: گزینهٔ ۲