سوال ۱۲۳ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول: ساده‌سازی مخرج‌ها و تعیین شرط دامنه

با استفاده از روابط زاویه‌های متمم داریم:
$\sin\left(\frac{\pi+4x}{2}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)=\cos(2x)$
و
$\cos\left(\frac{\pi+8x}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}+4x\right)=-\sin(4x)$.

پس معادله به صورت زیر نوشته می‌شود:
$\frac{1}{\cos(2x)}-\frac{1}{\sin(4x)}=0$،
با شرط‌های $\cos(2x)\ne0$ و $\sin(4x)\ne0$.

گام دوم: تبدیل به یک معادلهٔ سینوسی

چون مخرج‌ها ناصفرند، می‌توانیم دو طرف را در حاصل‌ضرب آن‌ها ضرب کنیم:
$\sin(4x)-\cos(2x)=0$.

با استفاده از رابطهٔ سینوس دوبرابر زاویه:
$2\sin(2x)\cos(2x)-\cos(2x)=0$
$\Rightarrow\cos(2x)\bigl(2\sin(2x)-1\bigr)=0$.

حالت $\cos(2x)=0$ به دلیل شرط دامنه پذیرفتنی نیست؛ بنابراین:
$\sin(2x)=\frac{1}{2}$.

گام سوم: یافتن جواب‌ها در بازهٔ داده‌شده

مطابق روش حل معادلات سینوسی با دایرهٔ مثلثاتی، برای سینوس مثبت باید هر دو زاویهٔ ربع اول و دوم را در نظر بگیریم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۴–۴۵). چون $x\in[0,\pi]$، داریم $2x\in[0,2\pi]$؛ پس:
$2x=\frac{\pi}{6}\quad\text{یا}\quad2x=\frac{5\pi}{6}$.

در نتیجه:
$x_1=\frac{\pi}{12},\qquad x_2=\frac{5\pi}{12}$.

برای این دو مقدار، $\cos(2x)=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ و $\sin(4x)=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ است؛ بنابراین هر دو جواب، شرط ناصفر بودن مخرج‌ها را دارند.

گام چهارم: محاسبهٔ عبارت خواسته‌شده

اختلاف دو جواب برابر است با:
$\alpha=x_2-x_1=\frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}$.

بنابراین:
$\tan(2\alpha)=\tan\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴