سوال ۱۱۵ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

گام اول ـ تعیین دامنه: چون تانژانت در معادله وجود دارد، باید $\cos x\ne0$ باشد؛ بنابراین در بازهٔ داده‌شده، نقاط $x=\frac{\pi}{2}$ و $x=\frac{3\pi}{2}$ مجاز نیستند. این محدودیت با دامنه و نمودار تانژانت سازگار است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۳۹).

گام دوم ـ تبدیل معادله به معادله‌ای برحسب کسینوس: با استفاده از اتحاد $1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$ داریم:
$8\cos x-\tan^2 x=1\iff8\cos x=1+\tan^2 x\iff8\cos x=\frac{1}{\cos^2 x}$.
چون $\cos x\ne0$، می‌توانیم دو طرف را در $\cos^2 x$ ضرب کنیم:
$8\cos^3 x=1\iff\cos^3 x=\frac18\iff\cos x=\frac12$.

گام سوم ـ یافتن و شمارش زاویه‌ها: طبق روش حل معادلات کسینوسی در کتاب، از $\cos x=\cos\alpha$ نتیجه می‌شود $x=2k\pi\pm\alpha$، که در آن $k\in\mathbb Z$ است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۶). چون $\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$، داریم:
$x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3}$.
در بازهٔ $[0,2\pi]$ فقط زاویه‌های $\frac{\pi}{3}$ و $\frac{5\pi}{3}$ به دست می‌آیند. هر دو در دامنهٔ معادله‌اند و تبدیل‌های انجام‌شده نیز هم‌ارز بوده‌اند؛ پس تعداد جواب‌ها برابر $2$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۴