سوال ۱۲۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

گام اول: رابطهٔ دورهٔ تناوب را مشخص می‌کنیم.
طبق تعریف کتاب، دورهٔ تناوب کوچک‌ترین عدد مثبت است که با جابه‌جایی متغیر به اندازهٔ آن، مقدار تابع برای همهٔ نقاط دامنه تکرار شود. دورهٔ پایهٔ سینوس و کسینوس برابر $2\pi$ است (ریاضی ۳، صفحه‌های ۳۱–۳۳). بنابراین برای توابع $y=A\sin(bx)+c$ و $y=A\cos(bx)+c$ با $A\ne0$ و $b\ne0$ داریم:
$T=\frac{2\pi}{|b|}$.
ضریب بیرون تابع و انتقال عمودی، دوره را تغییر نمی‌دهند؛ کاربرد این رابطه در مثال‌های کتاب نیز دیده می‌شود (ریاضی ۳، صفحه‌های ۳۵–۳۷).

گام دوم: از دورهٔ تابع اول، مقدار قدرمطلق پارامتر را می‌یابیم.
در تابع $f(x)=\frac{1}{2}-\sin\frac{2x}{a}$، ضریب $x$ درون سینوس برابر $b=\frac{2}{a}$ است. پس:
$T_f=\frac{2\pi}{\left|\frac{2}{a}\right|}=\pi|a|$.
با استفاده از دادهٔ سؤال:
$\pi|a|=\frac{\pi}{3}\quad\Longrightarrow\quad |a|=\frac{1}{3}$.
نیازی به تعیین علامت $a$ نداریم؛ زیرا دوره به قدرمطلق ضریب وابسته است.

گام سوم: دورهٔ تابع دوم را محاسبه می‌کنیم.
برای $y=\cos ax$ داریم:
$T=\frac{2\pi}{|a|}=\frac{2\pi}{\frac{1}{3}}=6\pi$.

پاسخ: گزینهٔ ۳