دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۵ · ریاضی

سوال ۱۱۸ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۱۸ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۵، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۱۸ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۵ · سوال ۱۱۸ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۲: مثلثات

تعداد جواب‌های معادله sin⁡(π+x)cos⁡(π2+x)+1=2sin⁡(π−x)\sin(\pi+x)\cos(\frac{\pi}{2}+x)+1=2\sin(\pi-x) در بازه [−2π,2π][-2\pi,2\pi] کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 1
  2. گزینهٔ ۲: 2
  3. گزینهٔ ۳: 3
  4. گزینهٔ ۴: 4
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۲ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

گام اول: ساده‌سازی زاویه‌ها
با استفاده از روابط زاویه‌های وابسته داریم:
sin⁡(π+x)=−sin⁡x\sin(\pi+x)=-\sin x
cos⁡(π2+x)=−sin⁡x\cos(\frac{\pi}{2}+x)=-\sin x
sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi-x)=\sin x
بنابراین معادلهٔ داده‌شده به شکل زیر درمی‌آید:
(−sin⁡x)(−sin⁡x)+1=2sin⁡x(-\sin x)(-\sin x)+1=2\sin x
sin⁡2x−2sin⁡x+1=0\sin^2x-2\sin x+1=0
(sin⁡x−1)2=0(\sin x-1)^2=0
پس شرط لازم و کافی برای برقراری معادله، sin⁡x=1\sin x=1 است.

گام دوم: نوشتن جواب کلی
طبق جواب کلی این معادله در کتاب درسی داریم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۳–۴۴):
x=π2+2kπ,k∈Zx=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}

گام سوم: محدودکردن جواب‌ها به بازهٔ خواسته‌شده
باید داشته باشیم:
−2π≤π2+2kπ≤2π-2\pi\le\frac{\pi}{2}+2k\pi\le2\pi
با کم‌کردن π2\frac{\pi}{2} و تقسیم بر 2π2\pi به دست می‌آید:
−54≤k≤34-\frac{5}{4}\le k\le\frac{3}{4}
تنها اعداد صحیح این محدوده k=−1k=-1 و k=0k=0 هستند؛ بنابراین جواب‌های داخل بازه عبارت‌اند از:
x=−3π2,x=π2x=-\frac{3\pi}{2},\qquad x=\frac{\pi}{2}
پس معادله در بازهٔ داده‌شده دو جواب متمایز دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۲

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۱: ممکن است فقط جواب مثبتِ x=π2x=\frac{\pi}{2} را بشمارید. اما بازه شامل زاویه‌های منفی هم هست و جوابِ حاصل از کم‌کردن یک دوره نیز باید بررسی شود.
  • گزینهٔ ۳: ممکن است ریشهٔ تکراریِ معادلهٔ درجهٔ دوم را دوبار بشمارید و به تعداد نادرستی برسید. تکراری‌بودن ریشهٔ جبری، جواب تازه‌ای برای زاویه ایجاد نمی‌کند؛ باید فقط مقادیر متمایزِ xx را شمرد.
  • گزینهٔ ۴: ممکن است برای معادلهٔ سینوسی در هر دوره دو جواب متمایز در نظر بگیرید. اما وقتی سینوس برابر بیشینهٔ خود است، دو شاخهٔ معمولِ جواب‌ها بر هم منطبق‌اند و نباید دوباره شمرده شوند.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. روابط زاویه‌های وابسته را به یاد بیاورید و همهٔ نسبت‌های مثلثاتی معادله را برحسب sin⁡x\sin x بنویسید؛ سپس از روش حل معادلات مثلثاتیِ درس دوم استفاده کنید.
  2. از روابط sin⁡(π+x)=−sin⁡x\sin(\pi+x)=-\sin x، cos⁡(π2+x)=−sin⁡x\cos(\frac{\pi}{2}+x)=-\sin x و sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi-x)=\sin x استفاده کنید. عبارت حاصل را به یک طرف ببرید و به‌صورت مربع کامل بنویسید.
  3. پس از تعیین مقدار سینوس، جواب کلی زاویه را بنویسید و شرط −2π≤x≤2π-2\pi\le x\le2\pi را روی آن اعمال کنید. فقط زاویه‌های متمایزِ داخل بازه را بشمارید.

ریاضی ۳ · فصل ۲: مثلثات

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «مثلثات» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۵

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری