سوال ۱۲۰ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

گام اول: با استفاده از اتحاد $\sin 2x=2\sin x\cos x$، معادله را تجزیه می‌کنیم؛ این تبدیل در حل معادلات مثلثاتی کتاب نیز به کار رفته است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۷–۴۸):
$\sin 2x-4\sin^2x\cos x=0$
$\Rightarrow 2\sin x\cos x-4\sin^2x\cos x=0$
$\Rightarrow 2\sin x\cos x(1-2\sin x)=0$.
پس کافی است هر یک از سه عامل متغیر را برابر صفر قرار دهیم.

گام دوم: جواب‌های هر حالت را در بازهٔ $(-\pi,\pi)$ پیدا می‌کنیم.

• حالت $\sin x=0$: جواب کلی این معادله $x=k\pi$ با $k\in\mathbb{Z}$ است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۳–۴۴). در بازهٔ خواسته‌شده فقط $x=0$ قرار دارد؛ زیرا $-\pi$ و $\pi$ دو سر بازه‌اند و پذیرفته نیستند.

• حالت $\cos x=0$: با نوشتن $\cos x=\cos\frac{\pi}{2}$ و استفاده از قاعدهٔ حل معادلهٔ کسینوسی (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۵–۴۶)، جواب‌های داخل بازه عبارت‌اند از:

$x=-\frac{\pi}{2},\quad x=\frac{\pi}{2}$.

• حالت $1-2\sin x=0$: داریم $\sin x=\frac{1}{2}$. مطابق دایرهٔ مثلثاتی و فعالیت کتاب، زاویه‌های متناظر در نیم‌دایرهٔ بالایی $\frac{\pi}{6}$ و $\pi-\frac{\pi}{6}$ هستند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۴–۴۵). بنابراین جواب‌های این حالت در بازه برابرند با:

$x=\frac{\pi}{6},\quad x=\frac{5\pi}{6}$.

گام سوم: جواب‌های به‌دست‌آمده همگی متمایزند و مجموعهٔ آن‌ها برابر است با:
$\left\{-\frac{\pi}{2},\;0,\;\frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{2},\;\frac{5\pi}{6}\right\}$.
پس معادله در بازهٔ داده‌شده دارای $5$ جواب است.

پاسخ: گزینهٔ ۲