سوالات ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

گام اول: تشکیل معادلهٔ نقاط مشترک

طبق تعریف سهمی، ضریب جملهٔ درجهٔ دوم باید ناصفر باشد؛ بنابراین در این سؤال $m\ne0$ است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۷۸–۷۹).

در هر نقطهٔ مشترک، عرض خط و سهمی برابر است؛ پس:

$-mx^2+mx+1=-m-x$

با انتقال جمله‌ها و ضرب در $-1$، داریم:

$mx^2-(m+1)x-(m+1)=0$

چون $m\ne0$، این معادله نسبت به $x$ درجهٔ دوم است.

گام دوم: اعمال شرط نداشتن نقطهٔ مشترک

برای آنکه خط و سهمی هیچ نقطهٔ مشترکی نداشته باشند، معادلهٔ بالا نباید ریشهٔ حقیقی داشته باشد؛ یعنی باید $\Delta<0$ باشد. ارتباط منفی‌بودن دلتا با نداشتن ریشهٔ حقیقی، در مثال نامعادلهٔ پارامتری کتاب نیز به کار رفته است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۹۰).

ضرایب معادله عبارت‌اند از:

$a=m,\qquad b=-(m+1),\qquad c=-(m+1)$

بنابراین:

$\Delta=b^2-4ac=(m+1)^2+4m(m+1)$

$\Delta=(m+1)(5m+1)$

پس شرط مسئله چنین است:

$(m+1)(5m+1)<0$

گام سوم: تعیین بازه و شمارش اعداد صحیح

ریشه‌های عبارت برابرند با:

$m=-1,\qquad m=-\frac15$

با تعیین علامت، حاصل‌ضرب دو عامل فقط بین این دو ریشه منفی است؛ همان روشی که برای حل نامعادله‌های درجهٔ دوم در کتاب آمده است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۹۰). در نتیجه:

$-1<m<-\frac15$

مرزهای بازه پذیرفته نیستند، زیرا در آن‌ها $\Delta=0$ و دو نمودار یک نقطهٔ مشترک دارند. بازهٔ به‌دست‌آمده کاملاً بین دو عدد صحیح متوالی $-1$ و $0$ قرار دارد؛ بنابراین هیچ مقدار صحیحی برای $m$ وجود ندارد.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: نوشتن رابطه‌های ریشه‌ها

چون نمودار داده‌شده سهمی است، ضریب $x^2$ صفر نیست؛ پس $\alpha\ne0$. مطابق رابطه‌های مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها در کتاب داریم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۲–۱۳):

$\alpha+\beta=-\frac{4}{25\alpha},\qquad \alpha\beta=\frac{\beta}{25\alpha}$.

گام دوم: بررسی صفرنبودن $\beta$

اگر $\beta=0$ باشد، از رابطهٔ مجموع به دست می‌آید:

$\alpha=-\frac{4}{25\alpha}\quad\Rightarrow\quad25\alpha^2=-4$.

این تساوی برای عدد حقیقی ممکن نیست؛ بنابراین $\beta\ne0$. اکنون از رابطهٔ حاصل‌ضرب داریم:

$25\alpha^2\beta=\beta\quad\Rightarrow\quad25\alpha^2=1\quad\Rightarrow\quad\alpha=\pm\frac15$.

گام سوم: استفاده از ترتیب ریشه‌ها

اگر $\alpha>0$ باشد، با توجه به $\beta>\alpha$، هر دو ریشه مثبت و در نتیجه مجموع آن‌ها مثبت خواهد بود؛ اما رابطهٔ $\alpha+\beta=-\frac{4}{25\alpha}$ مجموع را منفی می‌دهد. پس این حالت پذیرفتنی نیست و داریم:

$\alpha=-\frac15$.

با جای‌گذاری در رابطهٔ مجموع:

$-\frac15+\beta=\frac45\quad\Rightarrow\quad\beta=1$.

بنابراین معادلهٔ سهمی برابر است با:

$y=-5x^2+4x+1$.

گام چهارم: تعیین مختصات رأس

طول رأس سهمی از رابطهٔ $x_R=-\frac{b}{2a}$ به دست می‌آید (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴). پس:

$x_R=-\frac{4}{2(-5)}=\frac25$.

با جای‌گذاری طول رأس در ضابطهٔ تابع:

$y_R=-5\left(\frac25\right)^2+4\left(\frac25\right)+1=\frac95$.

هر دو مختصهٔ رأس مثبت‌اند؛ بنابراین رأس سهمی در ناحیهٔ اول قرار دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. تبدیل شرط هندسی به نامعادله

بالای خط $y=-4$ و پایین خط $y=0$ بودن نمودار یعنی:
$-4< -\frac{1}{3-x}<0$.
این تبدیلِ موقعیت نمودار به شرطی بر مقدار تابع، همان ارتباط نمودار و علامت عبارت است که در مبحث تعیین علامت بررسی می‌شود (ریاضی ۱، صفحهٔ ۸۷–۸۸).

۲. بررسی دامنه و شرط منفی بودن تابع

مخرج نباید صفر باشد؛ پس $x\ne3$. مطابق روش تعیین علامت عبارت‌های کسری، باید علامت صورت و مخرج را بررسی کنیم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۸۷–۸۸). چون صورت برابر $-1$ و منفی است، برای منفی بودن کسر لازم است:
$3-x>0\Rightarrow x<3$.

۳. بررسی شرط بالاتر بودن از خط پایینی

اکنون می‌دانیم $3-x>0$؛ بنابراین می‌توانیم نامعادلهٔ دیگر را در این مخرج ضرب کنیم، بدون آنکه جهت نامعادله تغییر کند:
$-4< -\frac{1}{3-x}\Rightarrow -4(3-x)<-1$.
در نتیجه:
$-12+4x<-1\Rightarrow4x<11\Rightarrow x<\frac{11}{4}$.
این شرط، شرط $x<3$ را نیز تأمین می‌کند؛ پس مجموعهٔ جواب حقیقی برابر است با:
$x\in\left(-\infty,\frac{11}{4}\right)$.

۴. شمارش مقادیر طبیعی

با قرارداد اعداد طبیعیِ مثبت، فقط $x=1$ و $x=2$ در این بازه قرار دارند. برای اطمینان، مقدار تابع در آن‌ها به‌ترتیب $-\frac12$ و $-1$ است که هر دو بین $-4$ و $0$ قرار دارند. بنابراین تعداد مقادیر خواسته‌شده $2$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

منظور متعارف سؤال، یافتن «بزرگ‌ترین بازهٔ باز» است که تابع در آن اکیداً نزولی باشد؛ وگرنه با انتخاب زیربازه‌های مختلف، مجموع دو سر بازه یکتا نخواهد بود.

گام اول ـ باز کردن قدرمطلق:
با توجه به علامت ورودی داریم:
$f(x)=(x-1)|x|=\begin{cases}-x^2+x & x<0,\\ x^2-x & x\geq 0.\end{cases}$

طبق تعریف کتاب، برای اکیداً نزولی بودن باید با افزایش ورودی، مقدار تابع همواره کاهش یابد (ریاضی ۳، صفحه‌های ۷ تا ۹).

گام دوم ـ بررسی شاخهٔ منفی:
در ناحیهٔ $x<0$، با افزایش $x$، هم $-x^2$ و هم $x$ افزایش می‌یابند؛ بنابراین مجموع آن‌ها، یعنی $-x^2+x$، اکیداً صعودی است. پس بازهٔ نزولی نمی‌تواند به سمت ورودی‌های منفی امتداد پیدا کند.

گام سوم ـ بررسی شاخهٔ نامنفی:
ضابطهٔ این شاخه را به صورت مربع کامل می‌نویسیم:
$f(x)=x^2-x=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}$.
پس طول رأس سهمی برابر $\frac{1}{2}$ است. از $x=0$ تا رأس، با افزایش ورودی، فاصلهٔ آن از طول رأس کم می‌شود و مقدار تابع اکیداً کاهش می‌یابد. پس از رأس، این فاصله و در نتیجه مقدار تابع اکیداً افزایش می‌یابد.

بنابراین بزرگ‌ترین بازهٔ بازِ اکیداً نزولی برابر است با:
$(a,b)=\left(0,\frac{1}{2}\right)$.
در نتیجه:
$a+b=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول ـ خواندن اطلاعات نمودار:
در محل تقاطع با محور عرض‌ها، ورودی صفر است و در محل تقاطع با محور طول‌ها، مقدار تابع صفر می‌شود. بنابراین از شکل داریم:
$f(0)=\frac{2}{3},\qquad f(1)=0$.
استفاده از مختصات نقاط نمودار برای تعیین مقدار تابع، در فعالیت‌های تابع نمایی نیز مطرح شده است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۹۹ و صفحهٔ ۱۰۱).

گام دوم ـ ساده‌کردن ضابطه:
با قانون جمع توان‌ها می‌نویسیم:
$3^{a+bx}=3^a(3^b)^x$.
پس اگر $A=c3^a$ و $q=3^b$ بگذاریم، تابع به صورت زیر درمی‌آید:
$f(x)=1+Aq^x$.

گام سوم ـ استفاده از عرض از مبدأ:
با جایگذاری $x=0$ و توجه به $q^0=1$ داریم:
$1+A=\frac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad A=-\frac{1}{3}$.
بنابراین:
$f(x)=1-\frac{1}{3}q^x$.

گام چهارم ـ استفاده از تقاطع با محور طول‌ها:
چون نمودار از نقطهٔ $(1,0)$ می‌گذرد:
$0=1-\frac{1}{3}q\quad\Rightarrow\quad q=3$.
در نتیجه ضابطهٔ تابع برابر است با:
$f(x)=1-\frac{1}{3}\times3^x$.

گام پنجم ـ محاسبهٔ مقدار خواسته‌شده:
با استفاده از رابطهٔ توان منفی، یعنی $3^{-1}=\frac{1}{3}$، داریم:
$f(-1)=1-\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$.
رابطهٔ توان منفی و پایهٔ معکوس، در بررسی توابع نمایی نیز به کار رفته است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۰۲–۱۰۳).

پاسخ: گزینهٔ ۲

تابع اصلی و وارون آن را به‌ترتیب چنین می‌نامیم:
$f(x)=ax+a\sqrt{x}$ و $g(x)=\frac{x+2}{4}-\frac{\sqrt{x+1}}{2}$.

طبق خاصیت تابع وارون، داریم $f(g(x))=x$؛ یعنی اگر $g$ ورودی‌ای را به یک خروجی تبدیل کند، $f$ آن خروجی را به ورودی اولیه برمی‌گرداند (ریاضی ۳، صفحه‌های ۲۵–۲۷).

گام اول: یک مقدار ساده برای تابع وارون پیدا می‌کنیم.
با انتخاب $x=8$، عبارت زیر رادیکال مربع کامل می‌شود:
$g(8)=\frac{8+2}{4}-\frac{\sqrt{8+1}}{2}=\frac{10}{4}-\frac{3}{2}=1$.

گام دوم: از وارون بودن استفاده می‌کنیم.
چون $g(8)=1$، پس:
$f(1)=8$.

گام سوم: پارامتر را به دست می‌آوریم.
از ضابطهٔ تابع اصلی داریم:
$f(1)=a\times1+a\sqrt{1}=2a$.
بنابراین:
$2a=8\quad\Rightarrow\quad a=4$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

گام اول ــ تشخیص زاویه و علامت: زاویهٔ $\alpha$ میان نیم‌خط مثبتِ محور افقی و نیم‌خطِ مایل به بالا و چپ قرار دارد؛ بنابراین منفرجه است: $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$. در این بازه، تانژانت و کتانژانت منفی‌اند (ریاضی ۲، صفحهٔ ۷۷–۷۸).

گام دوم ــ محاسبهٔ تانژانت از شیب خط: عرض از مبدأ خط $1.5=\frac{3}{2}$ و طول از مبدأ آن $2$ است؛ پس خط از نقاط $A(0,\frac{3}{2})$ و $B(2,0)$ می‌گذرد. تانژانت زاویهٔ خط با جهت مثبت محور افقی برابر شیب آن است؛ بنابراین:
$\tan\alpha=m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{0-\frac{3}{2}}{2-0}=-\frac{3}{4}$.

گام سوم ــ تبدیل عبارت خواسته‌شده: طبق رابطهٔ نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های متمم داریم $\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cot\alpha$ (ریاضی ۲، صفحهٔ ۸۲–۸۳). همچنین کتانژانت معکوس تانژانت است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۷۷–۷۸)، پس:
$\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\frac{1}{\tan\alpha}=\frac{1}{-\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

نکتهٔ مهم: صورت سؤال با کلید اعلام‌شده سازگار نیست؛ با زاویه‌های نوشته‌شده، هیچ‌یک از گزینه‌ها حاصل دقیق عبارت نیست.

گام اول ــ ساده‌کردن صورت:
طبق رابطهٔ $\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha$ (ریاضی ۲، صفحهٔ ۸۳–۸۴)، داریم:
$\cos248^\circ=\cos(90^\circ+158^\circ)=-\sin158^\circ$.
پس صورت برابر است با:
$3\cos248^\circ-2\sin158^\circ=-3\sin158^\circ-2\sin158^\circ=-5\sin158^\circ$.
از رابطهٔ سینوس زاویه‌های مکمل نیز داریم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۸۰–۸۱):
$\sin158^\circ=\sin(180^\circ-22^\circ)=\sin22^\circ$.
بنابراین صورت برابر $-5\sin22^\circ$ است.

گام دوم ــ ساده‌کردن مخرج:
با همان رابطهٔ تبدیل کسینوس:
$\cos293^\circ=\cos(90^\circ+203^\circ)=-\sin203^\circ$.
در نتیجه:
$\sin203^\circ-\cos293^\circ=2\sin203^\circ$.
طبق رابطهٔ $\sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha$ (ریاضی ۲، صفحهٔ ۸۱–۸۲):
$\sin203^\circ=\sin(180^\circ+23^\circ)=-\sin23^\circ$.
پس مخرج برابر $-2\sin23^\circ$ است.

گام سوم ــ تشکیل کسر نهایی:
$\frac{3\cos248^\circ-2\sin158^\circ}{\sin203^\circ-\cos293^\circ}=\frac{-5\sin22^\circ}{-2\sin23^\circ}=\frac{5\sin22^\circ}{2\sin23^\circ}\approx2.397$.

نمی‌توان $\sin22^\circ$ و $\sin23^\circ$ را حذف کرد، زیرا برابر نیستند. بنابراین مقدار عبارت دقیقاً $2.5$ نیست و گزینهٔ چهارم با صورت فعلی تأیید نمی‌شود؛ احتمالاً در ثبت یکی از زاویه‌ها خطایی رخ داده است.

صرفاً بر اساس کلید اعلام‌شده، نه حاصل دقیق عبارتِ نوشته‌شده:
پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: با استفاده از اتحاد $\sin 2x=2\sin x\cos x$، معادله را تجزیه می‌کنیم؛ این تبدیل در حل معادلات مثلثاتی کتاب نیز به کار رفته است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۷–۴۸):
$\sin 2x-4\sin^2x\cos x=0$
$\Rightarrow 2\sin x\cos x-4\sin^2x\cos x=0$
$\Rightarrow 2\sin x\cos x(1-2\sin x)=0$.
پس کافی است هر یک از سه عامل متغیر را برابر صفر قرار دهیم.

گام دوم: جواب‌های هر حالت را در بازهٔ $(-\pi,\pi)$ پیدا می‌کنیم.

• حالت $\sin x=0$: جواب کلی این معادله $x=k\pi$ با $k\in\mathbb{Z}$ است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۳–۴۴). در بازهٔ خواسته‌شده فقط $x=0$ قرار دارد؛ زیرا $-\pi$ و $\pi$ دو سر بازه‌اند و پذیرفته نیستند.

• حالت $\cos x=0$: با نوشتن $\cos x=\cos\frac{\pi}{2}$ و استفاده از قاعدهٔ حل معادلهٔ کسینوسی (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۵–۴۶)، جواب‌های داخل بازه عبارت‌اند از:

$x=-\frac{\pi}{2},\quad x=\frac{\pi}{2}$.

• حالت $1-2\sin x=0$: داریم $\sin x=\frac{1}{2}$. مطابق دایرهٔ مثلثاتی و فعالیت کتاب، زاویه‌های متناظر در نیم‌دایرهٔ بالایی $\frac{\pi}{6}$ و $\pi-\frac{\pi}{6}$ هستند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۴–۴۵). بنابراین جواب‌های این حالت در بازه برابرند با:

$x=\frac{\pi}{6},\quad x=\frac{5\pi}{6}$.

گام سوم: جواب‌های به‌دست‌آمده همگی متمایزند و مجموعهٔ آن‌ها برابر است با:
$\left\{-\frac{\pi}{2},\;0,\;\frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{2},\;\frac{5\pi}{6}\right\}$.
پس معادله در بازهٔ داده‌شده دارای $5$ جواب است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: ساده‌کردن جزء صحیح در حد داده‌شده

نماد $[t]$، بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساوی $t$ است. وقتی $x$ از سمت راست به $\frac{1}{2}$ نزدیک می‌شود، در بازهٔ $\frac{1}{2}<x<1$ داریم:
$-1<-x<-\frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad[-x]=-1$.
پس در این همسایگی:
$\frac{a+3[-x]}{1-2x}=\frac{a-3}{1-2x}$.

گام دوم: تعیین شرط پارامتر

مخرج هنگام $x\to\frac{1}{2}^{+}$ با مقادیر منفی به صفر میل می‌کند. طبق قاعدهٔ علامت حدهای نامتناهی، برای آنکه حاصل کسر $-\infty$ شود، صورت ثابت باید مثبت باشد (ریاضی ۳، صفحه‌های ۵۶–۵۷):
$a-3>0\quad\Longrightarrow\quad a>3$.
اگر $a=3$ باشد، کسر در این همسایگی صفر است؛ اگر $a<3$ باشد، حد آن $+\infty$ می‌شود. بنابراین شرط لازم و کافی همان $a>3$ است.

گام سوم: محاسبهٔ حد خواسته‌شده

عبارت داخل جزء صحیح را به صورت زیر می‌نویسیم:
$\frac{x}{a}-x=\left(\frac{1}{a}-1\right)x$.
از $a>3$ نتیجه می‌شود:
$-1<\frac{1}{a}-1<-\frac{2}{3}$.
برای همهٔ $x$های بازهٔ $0<x<1$، عبارت بالا منفی است و همچنین:
$-1<-x<\left(\frac{1}{a}-1\right)x<0$.
پس در یک همسایگی دوطرفه از $\frac{1}{2}$، عبارت داخل کروشه همواره بین $-1$ و $0$ قرار دارد و جزء صحیح آن ثابت است:
$\left[\frac{x}{a}-x\right]=-1$.
در نتیجه:
$\displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{2}}\left[\frac{x}{a}-x\right]=-1$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

۱. تشخیص نقش جزءصحیح
در این سؤال، $[u]$ جزءصحیحِ $u$ است، نه پرانتز معمولی. تابع جزءصحیح هنگام عبور ورودی از یک عدد صحیح پرش دارد؛ بررسی پیوستگی این تابع در تمرین کتاب نیز مطرح شده است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۲). همچنین پیوستگی روی $\mathbb{R}$ یعنی پیوستگی در تمام نقاط حقیقی (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۴۰–۱۴۱).

۲. نشان‌دادن وجود پرش در جملهٔ داخل تابع
قرار می‌دهیم $q(x)=x^2-ax$. معادلهٔ $q(x)=1$ همواره دو ریشهٔ حقیقی متمایز دارد. ریشهٔ بزرگ‌تر را در نظر می‌گیریم:
$c=\frac{a+\sqrt{a^2+4}}{2}$.
چون $q(c)=1$، داریم:
$q(x)-1=(x-c)(x+c-a)$.
در نزدیکی $c$، عامل دوم مثبت است؛ زیرا در خود این نقطه برابر $2c-a=\sqrt{a^2+4}>0$ است. بنابراین، در سمت چپ و به‌اندازهٔ کافی نزدیک به $c$، مقدار $q(x)$ کمی کمتر از $1$ و در سمت راست، کمی بیشتر از $1$ است. پس:
$\lim_{x\to c^-}[q(x)]=0$،
$\lim_{x\to c^+}[q(x)]=1$.
در نتیجه حدهای یک‌طرفهٔ تابع اصلی عبارت‌اند از:
$\lim_{x\to c^-}f(x)=-2a$،
$\lim_{x\to c^+}f(x)=b-2a$.
برای پیوستگی، این دو حد باید برابر باشند؛ مطابق معیار پیوستگی از چپ و راست در کتاب (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۳۹–۱۴۰). بنابراین:
$-2a=b-2a\Rightarrow b=0$.

۳. استفاده از ناصفربودن تابع و محاسبهٔ نسبت
با قرار دادن $b=0$، ضابطه به $f(x)=-2a$ تبدیل می‌شود. چون تابع ناصفر است، $a\ne0$؛ پس مخرج کسر نیز صفر نیست. اکنون:
$f(b)=f(0)=-2a$،
$\frac{a}{f(b)}=\frac{a}{-2a}=-\frac{1}{2}$.

پاسخ: گزینهٔ ۱

فرض کنیم نقطهٔ تماس $T(t,f(t))$ باشد. چون این نقطه در ناحیهٔ اول است، باید $t>0$ و $f(t)>0$ باشد.

۱. تعیین شرط شیب

طبق کتاب، مشتق تابع در نقطهٔ تماس برابر شیب خط مماس است (ریاضی ۳، صفحه‌های ۷۳ و ۷۴). خط داده‌شده را به صورت زیر می‌نویسیم:
$7y-x=5\quad\Rightarrow\quad y=\frac{x+5}{7}$
پس شیب آن $\frac{1}{7}$ است. از طرفی، با قاعدهٔ مشتق خارج‌قسمت داریم:
$f'(x)=\frac{a(3x+1)-3(ax-1)}{(3x+1)^2}=\frac{a+3}{(3x+1)^2}$
بنابراین در نقطهٔ تماس:
$\frac{a+3}{(3t+1)^2}=\frac{1}{7}\quad\Rightarrow\quad a+3=\frac{(3t+1)^2}{7}$

۲. استفاده از قرارداشتن نقطهٔ تماس روی خط و منحنی

چون نقطهٔ تماس روی خط است:
$f(t)=\frac{t+5}{7}\quad\Rightarrow\quad f(t)+1=\frac{t+12}{7}$
همچنین از رابطهٔ تابع داریم:
$f(t)+1=\frac{at-1}{3t+1}+1=\frac{t(a+3)}{3t+1}$
اکنون رابطهٔ به‌دست‌آمده از شرط شیب را جای‌گذاری می‌کنیم:
$\frac{t+12}{7}=\frac{t}{3t+1}\times\frac{(3t+1)^2}{7}=\frac{t(3t+1)}{7}$
پس:
$t+12=3t^2+t\quad\Rightarrow\quad t^2=4\quad\Rightarrow\quad t=\pm2$
از آنجا که نقطهٔ تماس در ناحیهٔ اول است، فقط $t=2$ پذیرفتنی است.

۳. محاسبه و بررسی پارامتر

با جای‌گذاری در شرط شیب:
$a+3=\frac{(3\times2+1)^2}{7}=7\quad\Rightarrow\quad a=4$
عرض نقطهٔ تماس نیز برابر است با:
$f(2)=\frac{2+5}{7}=1>0$
پس نقطهٔ تماس $(2,1)$ واقعاً در ناحیهٔ اول قرار دارد و همهٔ شرط‌های سؤال برقرار است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: تعیین پارامتر از آهنگ تغییر متوسط

طبق تعریف کتاب، آهنگ تغییر متوسط برابر نسبت تغییر مقدار تابع به تغییر متغیر مستقل است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۹۵). بنابراین در بازهٔ $[-1,0]$ داریم:

$\frac{f(0)-f(-1)}{0-(-1)}=-11$

مقادیر تابع در دو سر بازه عبارت‌اند از:

$f(0)=(0^2+1)^3(a\times0+1)=1$

$f(-1)=\bigl((-1)^2+1\bigr)^3\bigl(a(-1)+1\bigr)=8(1-a)$

پس:

$1-8(1-a)=-11$

$-7+8a=-11\quad\Rightarrow\quad a=-\frac12$

گام دوم: تعیین نقطهٔ موردنظر

با جای‌گذاری پارامتر به‌دست‌آمده، داریم:

$x=-2a=-2\left(-\frac12\right)=1$

گام سوم: محاسبهٔ آهنگ تغییر لحظه‌ای

آهنگ تغییر لحظه‌ای در هر نقطه، همان مقدار مشتق تابع در آن نقطه است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۹۵). با استفاده از قاعدهٔ مشتق حاصل‌ضرب و مشتق تابع مرکب:

$f'(x)=\bigl[3(x^2+1)^2(2x)\bigr](ax+1)+a(x^2+1)^3$

یعنی:

$f'(x)=6x(x^2+1)^2(ax+1)+a(x^2+1)^3$

اکنون $a=-\frac12$ و $x=1$ را جای‌گذاری می‌کنیم:

$f'(1)=6(1)(1^2+1)^2\left(-\frac12+1\right)-\frac12(1^2+1)^3$

$f'(1)=6\times4\times\frac12-\frac12\times8=12-4=8$

بنابراین آهنگ تغییر لحظه‌ای خواسته‌شده برابر $8$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

تابع را به صورت $f(x)=x^3-12x+2$ در نظر می‌گیریم.

گام اول: یافتن نقاط بحرانی
طبق قضیهٔ اکسترمم نسبی، اگر تابع در نقطه‌ای مشتق‌پذیر باشد و اکسترمم نسبی داشته باشد، مشتق آن در آن نقطه صفر است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۶). تابع داده‌شده چندجمله‌ای است و در تمام اعداد حقیقی مشتق دارد؛ بنابراین:
$f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$
$f'(x)=0\Rightarrow x=-2\quad\text{یا}\quad x=2$

گام دوم: تشخیص نقطهٔ مینیمم نسبی
صفر شدن مشتق به‌تنهایی برای وجود اکسترمم کافی نیست؛ باید تغییر رفتار تابع را بررسی کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۷–۱۰۸).
برای $x<-2$ مشتق مثبت، برای $-2<x<2$ مشتق منفی و برای $x>2$ مشتق مثبت است. پس تابع در $x=-2$ از صعودی به نزولی و در $x=2$ از نزولی به صعودی تغییر می‌کند. بنابراین مینیمم نسبی در $x=2$ رخ می‌دهد.

گام سوم: محاسبهٔ مقدار مینیمم نسبی
مقدار مینیمم نسبی، مقدار تابع در نقطهٔ مینیمم است، نه طول آن نقطه (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۴–۱۰۵). در نتیجه:
$f(2)=2^3-12(2)+2=8-24+2=-14$

پاسخ: گزینهٔ ۱

در مسائل بهینه‌سازی، ابتدا کمیت موردنظر را به صورت تابعی از یک متغیر می‌نویسیم و سپس با مشتق، بیشینهٔ آن را بررسی می‌کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۱۴).

گام اول: بیان قاعده برحسب ارتفاع
ارتفاع مستطیل را $h$ می‌نامیم. چون ضلع پایینی روی محور $x$هاست، هر دو رأس بالایی دارای عرض $h$ هستند.

برای رأس چپ، از معادلهٔ نمودار داریم:
$h=\sqrt[3]{x_{\mathrm{L}}+4}\ \Rightarrow\ x_{\mathrm{L}}=h^3-4$.

برای رأس راست نیز:
$h=\sqrt[3]{4-x_{\mathrm{R}}}\ \Rightarrow\ x_{\mathrm{R}}=4-h^3$.

بنابراین قاعدهٔ مستطیل برابر است با:
$b=x_{\mathrm{R}}-x_{\mathrm{L}}=(4-h^3)-(h^3-4)=8-2h^3$.

برای مستطیل غیرمنحط باید ارتفاع و قاعده مثبت باشند؛ پس $0<h<\sqrt[3]{4}$.

گام دوم: تشکیل تابع مساحت و مشتق‌گیری
مساحت برابر حاصل‌ضرب قاعده در ارتفاع است:
$S(h)=h(8-2h^3)=8h-2h^4$.

مشتق آن برابر است با:
$S'(h)=8-8h^3=8(1-h^3)$.

پس نقطهٔ بحرانی داخلی از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:
$S'(h)=0\ \Rightarrow\ h^3=1\ \Rightarrow\ h=1$.

گام سوم: بررسی بیشینه و محاسبهٔ مساحت
در بازهٔ $0<h<1$ مشتق مثبت و در بازهٔ $1<h<\sqrt[3]{4}$ مشتق منفی است؛ بنابراین مساحت ابتدا افزایش و سپس کاهش می‌یابد و در $h=1$ بیشینه می‌شود. این همان روش بررسی تغییرات تابع در مثال بهینه‌سازی کتاب است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۱۴). همچنین در دو حالت مرزی $h=0$ و $h=\sqrt[3]{4}$، مساحت صفر می‌شود.

در ارتفاع بهینه، دو رأس بالایی برابر $(-3,1)$ و $(3,1)$ هستند؛ در نتیجه:
$b=3-(-3)=6$،
$S_{\max}=6\times1=6$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: حروف را مشخص می‌کنیم.
کلمهٔ «آهنگری» دارای $6$ حرف متمایز «آ»، «ه»، «ن»، «گ»، «ر» و «ی» است. برای ساخت کلمهٔ $6$ حرفی، هر حرف را یک بار به کار می‌بریم. منظور از کنار هم بودن حروف «گنه» این است که این سه حرف بدون فاصله از یکدیگر قرار بگیرند؛ ترتیب آن‌ها لزوماً «گنه» نیست.

گام دوم: حروفِ کنار هم را یک بسته در نظر می‌گیریم.
مطابق روش مثال کتاب برای کنار هم قرار گرفتن حروف یک کلمه، ابتدا آن حروف را یک شیء حساب می‌کنیم و سپس ترتیب‌های داخلی آن‌ها را نیز می‌شماریم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۳۱). بنابراین اشیای مورد چینش عبارت‌اند از: بستهٔ شامل «گ، ن، ه» و سه حرف «آ»، «ر» و «ی».
این $4$ شیء متمایز به $4!$ حالت مرتب می‌شوند.

گام سوم: ترتیب‌های داخل بسته را می‌شماریم.
سه حرف متمایزِ داخل بسته به $3!$ حالت چیده می‌شوند و در همهٔ این حالت‌ها کنار هم باقی می‌مانند.

گام چهارم: اصل ضرب را به کار می‌بریم.
برای هر چینشِ بسته و حروف دیگر، همهٔ ترتیب‌های داخلی بسته امکان‌پذیرند؛ پس تعداد کل برابر است با:
$4!\times3!=24\times6=144$

پاسخ: گزینهٔ ۳

منظور عبارت سؤال این است که اعداد ظاهرشده «نه متوالی باشند و نه برابر».

گام اول: تشکیل فضای نمونه‌ای
نتیجهٔ پرتاب دو تاس را به‌صورت زوج مرتب $(a,b)$ می‌نویسیم؛ بنابراین مثلاً $(1,2)$ و $(2,1)$ دو حالت متفاوت‌اند. مطابق جدول پرتاب دو تاس در کتاب، تعداد کل حالت‌های هم‌شانس برابر است با:
$n(S)=6\times6=36$
(ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۲–۱۴۳)

گام دوم: شمارش حالت‌های نامطلوب
پیشامد برابر بودن دو عدد را $B$ می‌نامیم:
$B=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}$
پس $n(B)=6$.

پیشامد متوالی بودن دو عدد را $C$ می‌نامیم. جفت‌های متوالی بدون توجه به ترتیب عبارت‌اند از:
$(1,2)، (2,3)، (3,4)، (4,5)، (5,6)$
هر جفت با دو ترتیب روی تاس‌ها ظاهر می‌شود؛ بنابراین:
$n(C)=5\times2=10$

دو عدد نمی‌توانند هم برابر و هم متوالی باشند؛ پس $B\cap C=\varnothing$ و تعداد حالت‌های نامطلوب برابر است با:
$n(B\cup C)=6+10=16$

گام سوم: استفاده از متمم و محاسبهٔ احتمال
پیشامد مطلوب، متممِ «برابر یا متوالی بودن» است. استفاده از متمم برای ساده‌تر شدن شمارش، در مثال پرتاب دو تاس کتاب نیز به کار رفته است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۴۹). بنابراین:
$n(A)=36-16=20$
طبق تعریف احتمال در فضای نمونه‌ای هم‌شانس (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۴۶–۱۴۷):
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$

پاسخ: گزینهٔ ۲

برای حل، از قانون احتمال کل استفاده می‌کنیم؛ درست مانند مثال انتقال مهره بین دو ظرف، باید حالت‌های ممکنِ انتقال را جداگانه بررسی و احتمال مسیرهای منتهی به انتخاب مهرهٔ آبی را جمع کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۴۸).

گام اول: شمارش مهره‌ها
جعبهٔ $A$ در ابتدا $6+4+5=15$ مهره و جعبهٔ $B$ در ابتدا $5+3+6=14$ مهره دارد. بنابراین پس از انتقال، تعداد مهره‌های جعبهٔ $B$ برابر $15$ است.

گام دوم: بررسی دو حالت انتقال
پیشامد انتقال مهرهٔ آبی را با $T$ و پیشامد انتخاب مهرهٔ آبی از جعبهٔ $B$ را با $E$ نشان می‌دهیم.

• اگر مهرهٔ منتقل‌شده آبی باشد، احتمال این انتقال $P(T)=\frac{6}{15}$ است. در این حالت، جعبهٔ $B$ دارای $6$ مهرهٔ آبی از مجموع $15$ مهره است؛ پس $P(E\mid T)=\frac{6}{15}$.

• اگر مهرهٔ منتقل‌شده غیرآبی، یعنی سبز یا قرمز باشد، احتمال این انتقال $P(T^c)=\frac{4+5}{15}=\frac{9}{15}$ است. در این حالت، تعداد مهره‌های آبی جعبهٔ $B$ همان $5$ باقی می‌ماند؛ پس $P(E\mid T^c)=\frac{5}{15}$.

گام سوم: استفاده از قانون احتمال کل
دو حالت بالا ناسازگارند و همهٔ حالت‌های انتقال را پوشش می‌دهند؛ بنابراین، طبق قانون احتمال کل (ریاضی ۳، صفحه‌های ۱۴۷–۱۴۸):

$P(E)=P(T)P(E\mid T)+P(T^c)P(E\mid T^c)$

$P(E)=\frac{6}{15}\times\frac{6}{15}+\frac{9}{15}\times\frac{5}{15}=\frac{36+45}{225}=\frac{81}{225}=0.36$

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: ناحیه‌های جدا از هم را مشخص می‌کنیم.
اجتماع دو مجموعه از سه بخشِ $A-B$، $A\cap B$ و $B-A$ تشکیل شده است. چون این بخش‌ها عضو مشترکی ندارند، تعداد اعضای اجتماع برابر مجموع تعداد اعضای آن‌هاست؛ این همان روش ناحیه‌بندی نمودار ون در کتاب است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۱۲–۱۳):
$n(A\cup B)=n(A-B)+n(A\cap B)+n(B-A)$.

گام دوم: تعداد اعضای ناحیه‌ها را با یک متغیر می‌نویسیم.
طبق دادهٔ سؤال داریم:
$n(A\cap B)=3n(A-B)=4n(B-A)$.
برای پرهیز از کسر، می‌گذاریم $n(A\cap B)=12k$. بنابراین:
$n(A-B)=4k$ و $n(B-A)=3k$.

گام سوم: از تعداد اعضای اجتماع استفاده می‌کنیم:
$4k+12k+3k=57\Rightarrow19k=57\Rightarrow k=3$.
پس تعداد اعضای سه ناحیه برابر است با:
$n(A-B)=12$، $n(A\cap B)=36$ و $n(B-A)=9$.

گام چهارم: اعضای $A$ شامل بخشِ فقط متعلق به $A$ و بخش اشتراک است؛ بنابراین:
$n(A)=n(A-B)+n(A\cap B)=12+36=48$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

جمله‌های دنبالهٔ اولیه را با $a_n$ و جمله‌های دنبالهٔ جدید را با $b_n$ نشان می‌دهیم. طبق صورت سؤال:
$b_1=a_1+4$ و $b_2=a_2+4$.

گام اول: مقایسهٔ قدرنسبت‌ها
اگر قدرنسبت دنبالهٔ اولیه $d=a_2-a_1$ باشد، قدرنسبت دنبالهٔ جدید برابر است با:
$d'=b_2-b_1=(a_2+4)-(a_1+4)=a_2-a_1=d$.
پس قدرنسبت دو دنباله یکسان است.

گام دوم: نوشتن جمله‌های عمومی
بر اساس فرمول جملهٔ عمومی دنبالهٔ حسابی، جملهٔ $n$ام از جمع جملهٔ اول و حاصل‌ضرب $n-1$ در قدرنسبت به دست می‌آید (ریاضی ۱، صفحهٔ ۲۳). بنابراین:
$a_n=a_1+(n-1)d$،
$b_n=b_1+(n-1)d=(a_1+4)+(n-1)d$.

گام سوم: محاسبهٔ اختلاف جمله‌های هم‌شماره
$b_n-a_n=[(a_1+4)+(n-1)d]-[a_1+(n-1)d]=4$.

پس تمام جمله‌های دنبالهٔ جدید، مستقل از شمارهٔ جمله، $4$ واحد از جمله‌های متناظر دنبالهٔ اولیه بیشترند.

پاسخ: گزینهٔ ۱

نکتهٔ نگارشی: در گزینه‌های این سؤال، علامت «/» ممیز اعشاری است، نه خط کسر؛ برای مثال، گزینهٔ چهارم عدد $-1.5$ را نشان می‌دهد.

گام اول: تعیین مرکز دایره
در معادلهٔ گستردهٔ دایره، مختصات مرکز برابر قرینهٔ نصف ضرایب جمله‌های خطی است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۳۸). پس مرکز دایرهٔ $x^2+y^2+3x+ay=c$ برابر است با:
$O\left(-\frac{3}{2},-\frac{a}{2}\right)$.

گام دوم: تعیین شیب شعاعِ نقطهٔ تماس
معادلهٔ خط مماس را به صورت شیب‌دار می‌نویسیم:
$2x+3y=9\ \Rightarrow\ y=-\frac{2}{3}x+3$.
بنابراین شیب مماس $-\frac{2}{3}$ است. شعاع در نقطهٔ تماس بر مماس عمود است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۳۸)، پس شیب شعاع برابر $\frac{3}{2}$ خواهد بود.

گام سوم: استفاده از مختصات مرکز و نقطهٔ تماس
اگر نقطهٔ تماس را $T(0,3)$ بنامیم، شیب خط $OT$ برابر است با:
$m_{OT}=\frac{3-(-\frac{a}{2})}{0-(-\frac{3}{2})}=\frac{a+6}{3}$.
پس:
$\frac{a+6}{3}=\frac{3}{2}\ \Rightarrow\ 2a+12=9\ \Rightarrow\ 2a=-3\ \Rightarrow\ a=-\frac{3}{2}=-1.5$.

برای یافتن $a$ نیازی به محاسبهٔ $c$ نیست؛ مختصات مرکز و شرط عمودبودن شعاع بر مماس کافی است.

پاسخ: گزینهٔ ۴