سوال ۱۴۰ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۱۴۰ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۴۰ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول · سوال ۱۴۰ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۶: هندسه

خط $2x+3y=9$ در نقطهٔ $(0,3)$ بر دایرهٔ $x^2+y^2+3x+ay=c$ مماس است. مقدار $a$ کدام است؟

گزینهٔ ۱: 3/5
گزینهٔ ۲: -3/5
گزینهٔ ۳: 1/5
گزینهٔ ۴: -1/5

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۴ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

نکتهٔ نگارشی: در گزینه‌های این سؤال، علامت «/» ممیز اعشاری است، نه خط کسر؛ برای مثال، گزینهٔ چهارم عدد $-1.5$ را نشان می‌دهد.

گام اول: تعیین مرکز دایره
در معادلهٔ گستردهٔ دایره، مختصات مرکز برابر قرینهٔ نصف ضرایب جمله‌های خطی است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۳۸). پس مرکز دایرهٔ $x^2+y^2+3x+ay=c$ برابر است با:
$O\left(-\frac{3}{2},-\frac{a}{2}\right)$ .

گام دوم: تعیین شیب شعاعِ نقطهٔ تماس
معادلهٔ خط مماس را به صورت شیب‌دار می‌نویسیم:
$2x+3y=9\ \Rightarrow\ y=-\frac{2}{3}x+3$ .
بنابراین شیب مماس $-\frac{2}{3}$ است. شعاع در نقطهٔ تماس بر مماس عمود است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۳۸)، پس شیب شعاع برابر $\frac{3}{2}$ خواهد بود.

گام سوم: استفاده از مختصات مرکز و نقطهٔ تماس
اگر نقطهٔ تماس را $T(0,3)$ بنامیم، شیب خط $OT$ برابر است با:
$m_{OT}=\frac{3-(-\frac{a}{2})}{0-(-\frac{3}{2})}=\frac{a+6}{3}$ .
پس:
$\frac{a+6}{3}=\frac{3}{2}\ \Rightarrow\ 2a+12=9\ \Rightarrow\ 2a=-3\ \Rightarrow\ a=-\frac{3}{2}=-1.5$ .

برای یافتن $a$ نیازی به محاسبهٔ $c$ نیست؛ مختصات مرکز و شرط عمودبودن شعاع بر مماس کافی است.

پاسخ: گزینهٔ ۴

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: این گزینه، با خواندن ممیزِ گزینه‌ها، برابر $3.5$ است و ممکن است بر اثر خطا در محاسبهٔ شیب شعاع انتخاب شود. با جای‌گذاری آن، شیب شعاع برابر $\frac{19}{6}$ می‌شود، نه $\frac{3}{2}$ ؛ پس شعاع بر مماس عمود نیست.
گزینهٔ ۲: این گزینه برابر $-3.5$ است؛ منفی‌بودن آن به‌تنهایی برای درستی پاسخ کافی نیست. با این مقدار، شیب شعاع برابر $\frac{5}{6}$ می‌شود و شرط عمودبودن بر خط مماس برقرار نیست.
گزینهٔ ۳: این گزینه برابر $1.5$ است و ممکن است با حذف اشتباه علامت منفی در مرحلهٔ آخر به دست آید. از رابطهٔ $a+6=\frac{9}{2}$ باید عدد بزرگ‌تر را از عدد کوچک‌تر کم کرد؛ بنابراین حاصل منفی است.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

ویژگی شعاعِ گذرنده از نقطهٔ تماس را به یاد بیاورید: این شعاع بر خط مماس عمود است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۳۸).
مرکز دایره را از ضرایب جمله‌های خطی پیدا کنید و شیب خط داده‌شده را به دست آورید. شیب خطِ وصل‌کنندهٔ مرکز به نقطهٔ تماس باید قرینهٔ معکوس شیب مماس باشد.
مرکز دایره $O(-\frac{3}{2},-\frac{a}{2})$ است. با استفاده از نقطهٔ تماس، رابطهٔ $\frac{3+\frac{a}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}$ را بنویسید و آن را برای مجهول حل کنید.

فصل «هندسه» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.