سوال ۱۴۰ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

نکتهٔ مهم: متن سؤال با گزینهٔ تأییدشده سازگار نیست؛ با شرط «تماس در ناحیهٔ دوم»، حاصل‌ضرب مختصات منفی می‌شود. حل را بررسی می‌کنیم.

گام اول: تعیین شعاع و مماس اول
مرکز دایره مبدأ است و نقطهٔ $A(-4,-3)$ روی آن قرار دارد؛ بنابراین:
$r=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=5$.
پس معادلهٔ دایره $x^2+y^2=25$ است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۳۶).

شعاع در نقطهٔ تماس بر مماس عمود است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۳۸). شیب شعاع $OA$ برابر $\frac{3}{4}$ است؛ پس شیب خط $\ell$ برابر $-\frac{4}{3}$ خواهد بود. با استفاده از نقطهٔ تماس:
$y+3=-\frac{4}{3}(x+4)\quad\Rightarrow\quad 4x+3y=-25$.

گام دوم: تعیین مماس عمود بر خط اول
شیب خط دوم برابر $\frac{3}{4}$ است؛ بنابراین معادلهٔ آن را به صورت $3x-4y=c$ می‌نویسیم. فاصلهٔ مبدأ از خط مماس باید برابر شعاع باشد (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۳۸):
$\frac{|c|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=5\quad\Rightarrow\quad c=\pm25$.

نقطهٔ $B(-3,4)$ روی دایره و در ناحیهٔ دوم قرار دارد. شعاع $OB$ بر خطی با شیب $\frac{3}{4}$ عمود است؛ پس مماس موردنظر در این نقطه است. با جای‌گذاری مختصات آن، معادلهٔ خط دوم به دست می‌آید:
$3x-4y=-25$.

گام سوم: یافتن نقطهٔ برخورد
باید دستگاه زیر را حل کنیم:
$\begin{cases}4x+3y=-25\\3x-4y=-25\end{cases}$.
با ضرب معادلهٔ اول در $4$ و معادلهٔ دوم در $3$ و جمع آن‌ها داریم:
$25x=-175\quad\Rightarrow\quad x=-7$.
سپس از معادلهٔ اول:
$-28+3y=-25\quad\Rightarrow\quad y=1$.
پس حاصل‌ضرب خواسته‌شده برابر است با:
$xy=(-7)(1)=-7$.

بنابراین، با متن فعلی هیچ‌یک از گزینه‌ها درست نیست. اگر منظور سؤال «قدر مطلق حاصل‌ضرب» باشد، مقدار آن $7$ می‌شود. همچنین اگر «ناحیهٔ دوم» به «ناحیهٔ چهارم» اصلاح شود، مماس دوم $3x-4y=25$ و نقطهٔ برخورد $(-1,-7)$ خواهد بود که حاصل‌ضرب مختصاتش $7$ است. فقط با یکی از این اصلاح‌ها، پاسخ تأییدشده معتبر است.

با فرض اصلاح یادشده، پاسخ: گزینهٔ ۲