سوال ۱۳۹ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

صورت سؤال با پاسخ تأییدشده سازگار نیست و به‌احتمال زیاد رابطهٔ زاویه‌ها جابه‌جا نوشته شده است.

۱. بررسی صورت فعلی سؤال
در هر مثلث، مقابل زاویهٔ بزرگ‌تر، ضلع بزرگ‌تر قرار دارد. از $\widehat B=2\widehat A$ نتیجه می‌شود $\widehat B>\widehat A$؛ بنابراین باید $AC>BC$ باشد. اما داده‌ها می‌گویند $AC=5<7=BC$. پس با صورت فعلی، چنین مثلثی وجود ندارد و هیچ‌یک از گزینه‌ها پاسخ معتبر نیست.

۲. حل با اصلاح احتمالی شرط به $\widehat A=2\widehat B$
این اصلاح، با پاسخ اعلام‌شده سازگار است. نیمساز زاویهٔ $A$ را رسم می‌کنیم تا ضلع $BC$ را در نقطهٔ $D$ قطع کند. اگر $\widehat B=\beta$ باشد، داریم:
$\angle BAD=\angle DAC=\beta$.
در مثلث $ABD$، زاویه‌های $BAD$ و $ABD$ برابرند؛ پس:
$AD=BD$.

از مجموع زاویه‌های مثلث $ABD$ داریم $\angle ADB=180^\circ-2\beta$. چون نقاط $B$، $D$ و $C$ روی یک خط‌اند، نتیجه می‌شود:
$\angle ADC=2\beta=\angle BAC$.
همچنین $\angle DAC=\angle ABC$؛ بنابراین طبق تشابه دو زاویه، دو مثلث زیر متشابه‌اند (ریاضی ۲، صفحهٔ ۴۳–۴۴):
$\triangle ADC\sim\triangle BAC$.

۳. محاسبهٔ ضلع خواسته‌شده
از تناسب ضلع‌های متناظر داریم:
$\frac{DC}{AC}=\frac{AC}{BC}\quad\Rightarrow\quad DC=\frac{AC^2}{BC}=\frac{25}{7}$.
پس:
$BD=BC-DC=7-\frac{25}{7}=\frac{24}{7}$.
از طرفی $AD=BD$، بنابراین $AD=\frac{24}{7}$. اکنون از همان تشابه:
$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{AC}=\frac{7}{5}$.
در نتیجه:
$AB=\frac{24}{7}\times\frac{7}{5}=\frac{24}{5}=4.8$.

بنابراین گزینهٔ اعلام‌شده فقط برای صورت اصلاح‌شده با شرط $\widehat A=2\widehat B$ درست است، نه برای صورت فعلی.
پاسخ: گزینهٔ ۴