سوال ۱۳۲ ریاضی کنکور تجربی ۱۳۹۸ با پاسخ تشریحی

زاویهٔ قائمه در رأس $A$ است و $H$ و $M$ هر دو روی وتر $BC$ قرار دارند.

گام اول: محاسبهٔ وتر
با استفاده از رابطهٔ فیثاغورس، که در فعالیت روابط طولی مثلث قائم‌الزاویه نیز نتیجه‌گیری شده است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۴۴–۴۵)، داریم:
$BC^2=AB^2+AC^2=(3\sqrt{5})^2+6^2=45+36=81$
پس:
$BC=9$

گام دوم: تعیین محل پای ارتفاع و وسط وتر
از تشابه مثلث‌های حاصل از رسم ارتفاع بر وتر، رابطهٔ زیر به دست می‌آید (ریاضی ۲، صفحهٔ ۴۴–۴۵):
$AB^2=BH\times BC$
بنابراین:
$BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{45}{9}=5$
از طرفی، چون $AM$ میانه است، $M$ وسط وتر است؛ پس:
$BM=\frac{BC}{2}=\frac{9}{2}$
چون $BH>BM$، نقطهٔ $H$ بین $M$ و $C$ قرار دارد و داریم:
$MH=BH-BM=5-\frac{9}{2}=\frac{1}{2}$

گام سوم: مقایسهٔ مساحت‌ها
برای محاسبهٔ مساحت، باید قاعده و ارتفاع متناظر با آن را در نظر گرفت؛ محاسبهٔ مساحت مثلث قائم‌الزاویه با انتخاب قاعده‌های مختلف نیز در کتاب مطرح شده است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۴۰–۴۱).

قاعده‌های $BC$ و $MH$ روی یک خط‌اند و هر دو مثلث رأس $A$ را دارند؛ بنابراین ارتفاع متناظر با این دو قاعده، همان $AH$ است. در نتیجه:
$\frac{S_{ABC}}{S_{AMH}}=\frac{\frac{1}{2}BC\times AH}{\frac{1}{2}MH\times AH}=\frac{BC}{MH}=\frac{9}{\frac{1}{2}}=18$
پس مساحت مثلث $ABC$، برابر با $18$ برابر مساحت مثلث $AMH$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۴