سوال ۱۲۹ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

گام اول ـ مقایسهٔ ارتفاع‌ها:
مساحت مثلث $XYZ$ را با $S_{XYZ}$ نشان می‌دهیم. در مثلث $BCE$ قاعده را $BC$ و در مثلث $BDE$ قاعده را $DE$ می‌گیریم. چون $DE\parallel BC$، ارتفاع هر دو مثلث برابر فاصلهٔ دو خط موازی است؛ آن را $h$ می‌نامیم. پس با همان روش مقایسهٔ مساحت‌ها در فعالیت اثبات قضیهٔ تالس داریم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۳۴–۳۵):
$\frac{S_{BCE}}{S_{BDE}}=\frac{\frac{1}{2}BC\times h}{\frac{1}{2}DE\times h}=\frac{BC}{DE}$.

گام دوم ـ استفاده از تعمیم تالس:
از موازی‌بودن $DE$ و $BC$ نتیجه می‌شود (ریاضی ۲، صفحهٔ ۳۵–۳۶):
$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}\quad\Rightarrow\quad\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}$.
طول ضلع کامل برابر است با:
$AB=AD+DB=5+7=12$.

گام سوم ـ محاسبهٔ نسبت خواسته‌شده:
$\frac{S_{BCE}}{S_{BDE}}=\frac{12}{5}=2.4$.
بنابراین مساحت مثلث $BCE$ برابر $2.4$ برابر مساحت مثلث $BDE$ است. توجه کنید که این دو مثلث را متشابه فرض نکردیم؛ برابری ارتفاع‌ها علت برابری نسبت مساحت‌ها با نسبت قاعده‌هاست.

پاسخ: گزینهٔ ۴