سوال ۱۳۴ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

ابتدا طول ضلع مربع را برحسب $AE$ می‌نویسیم. اگر $AE=x$ باشد، با توجه به $ED=2AE$ داریم:
$ED=2x,\qquad AD=AE+ED=3x.$
پس همهٔ ضلع‌های مربع، از جمله $AB$ و $BC$، برابر $3x$ هستند.

گام اول: یافتن نسبت پاره‌خط‌های روی دو خط متقاطع
در دو مثلث $AEF$ و $CBF$، زاویه‌های $AFE$ و $CFB$ متقابل به رأس و برابرند. همچنین چون $AE\parallel BC$ است و $A,F,C$ روی یک خط‌اند، زاویه‌های $EAF$ و $BCF$ نیز برابرند. بنابراین این دو مثلث به حالت دو زاویه متشابه‌اند و ضلع‌های متناظر آن‌ها متناسب‌اند؛ این همان اصل تناسب طول‌ها در بحث تشابه و تعمیم تالس است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۳۵–۳۶ و ۴۵–۴۶).

در نتیجه:
$\frac{EF}{BF}=\frac{AF}{CF}=\frac{AE}{CB}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}.$
پس $BF=3EF$ و $CF=3AF$؛ بنابراین:
$BE=BF+EF=4EF,\qquad AC=AF+FC=4AF.$
از تقسیم این دو تساوی به دست می‌آید:
$\frac{EF}{AF}=\frac{BE}{AC}.$

گام دوم: محاسبهٔ طول‌های کامل با فیثاغورس
مثلث $ABE$ در رأس $A$ قائم‌الزاویه است؛ پس:
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{(3x)^2+x^2}=x\sqrt{10}.$
همچنین در مثلث قائم‌الزاویهٔ $ABC$، طول قطر مربع برابر است با:
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(3x)^2+(3x)^2}=3x\sqrt{2}.$
بنابراین نسبت خواسته‌شده برابر است با:
$\frac{EF}{AF}=\frac{BE}{AC}=\frac{x\sqrt{10}}{3x\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}}{3}.$

پاسخ: گزینهٔ ۱