سوال ۱۳۸ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۱۳۸ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۳۸ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول · سوال ۱۳۸ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۲ · فصل ۲: هندسه

این سوال در دفترچه شکل دارد؛ این‌جا شکل به‌صورت متنی توصیف شده است.

در شکل زیر، $AB=16$ ، $BC=12$ و زاویه $\hat{ABC}$ قائمه است. طول DE کدام است؟

شکل: مثلث قائم‌الزاویه ABC با زاویه قائمه در B: رأس A بالا، B پایین سمت چپ و C پایین سمت راست. ضلع AB عمودی است. از B عمودی BH بر وتر AC فرود آمده (H روی AC، با علامت زاویه قائمه در H). نقطه E روی AC و نقطه D روی AB قرار دارد و DE بر AB عمود است (علامت زاویه قائمه در D). روی AC دو پاره‌خط AE و EH با علامت یکسان (تیک) نشان داده شده‌اند، یعنی AE = EH.

گزینهٔ ۱: ۳/۸۴
گزینهٔ ۲: ۲/۶۴
گزینهٔ ۳: ۲/۳۶
گزینهٔ ۴: ۱/۹۲

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

۱) ابتدا وتر مثلث را با قضیهٔ فیثاغورس به دست می‌آوریم:
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{400}=20$ .

۲) ارتفاع وارد بر وتر، مثلث‌هایی متشابه با مثلث اصلی ایجاد می‌کند. از روابط طولی حاصل از این تشابه، مربع هر ضلع قائم برابر حاصل‌ضرب وتر در تصویر همان ضلع روی وتر است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۴۴–۴۵). در شکل سؤال، تصویر ضلع $AB$ روی وتر، پاره‌خط $AH$ است؛ پس:
$AB^2=AH\times AC\quad\Rightarrow\quad AH=\frac{16^2}{20}=12.8$ .

۳) طبق علامت‌های شکل، $AE=EH$ و نقطهٔ $E$ بین $A$ و $H$ قرار دارد؛ بنابراین:
$AE=\frac{AH}{2}=\frac{12.8}{2}=6.4$ .

۴) مثلث‌های $ADE$ و $ABC$ در رأس $A$ زاویهٔ مشترک دارند و زاویه‌های رأس‌های $D$ و $B$ نیز قائمه‌اند. پس به حالت دو زاویه متشابه‌اند (ریاضی ۲، صفحهٔ ۴۳–۴۴). با توجه به ضلع‌های متناظر داریم:
$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$ .
در نتیجه:
$DE=12\times\frac{6.4}{20}=3.84$ .

پاسخ: گزینهٔ ۱

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۲: ممکن است با محاسبهٔ نادرست تصویر ضلع روی وتر، این مقدار به دست آید. اما رابطهٔ $AB^2=AH\times AC$ می‌دهد $AH=12.8$ ؛ بنابراین باید $DE=12\times\frac{6.4}{20}$ باشد، نه $2.64$ .
گزینهٔ ۳: اشتباه در انتخاب ضلع‌های متناظر یا محاسبهٔ تناسب ممکن است به این گزینه منجر شود. در تشابه دو مثلث، $DE$ متناظر با $BC$ و $AE$ متناظر با $AC$ است؛ مقدار $2.36$ تناسب $\frac{DE}{12}=\frac{6.4}{20}$ را برقرار نمی‌کند.
گزینهٔ ۴: این مقدار از نصف‌کردنِ اضافی پاسخ به دست می‌آید. شرط $AE=EH$ فقط یک بار، هنگام محاسبهٔ $AE=\frac{AH}{2}$ ، استفاده می‌شود و نباید طول حاصل برای $DE$ را دوباره نصف کرد.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

روابط طولی مثلث قائم‌الزاویه و تشابه مثلث‌های حاصل از رسم ارتفاع بر وتر را مرور کن؛ ابتدا طول وتر و سپس تصویر ضلع روی وتر را پیدا کن.
در این شکل، رابطهٔ تصویر ضلع روی وتر به صورت $AB^2=AH\times AC$ است. پس از یافتن $AH$ ، از علامت‌های مساوی روی شکل برای تعیین $AE$ استفاده کن.
مثلث‌های $ADE$ و $ABC$ زاویهٔ رأس $A$ را مشترک دارند و هر دو قائم‌الزاویه‌اند؛ بنابراین $\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$ . اکنون طول‌های به‌دست‌آمده را در این تناسب قرار بده.

فصل «هندسه» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.