سوال ۱۳۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۱۳۷ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۳۷ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول · سوال ۱۳۷ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی هفتم · فصل ۴: هندسه و استدلال

نقاط M و N روی پاره‌خط AB قرار دارند. نقطه M پاره‌خط AB را به نسبت ۱ به ۵ و نقطه N این پاره‌خط را به نسبت ۳ به ۴ تقسیم می‌کند. اگر $MN=22$ و هر دو نقطه به یک سر پاره‌خط نزدیک‌تر باشند، مجموع ارقام طول پاره‌خط AB چقدر است؟

گزینهٔ ۱: ۶
گزینهٔ ۲: ۹
گزینهٔ ۳: ۱۲
گزینهٔ ۴: ۱۵

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

۱. تعیین سر مشترک و تبدیل نسبت‌ها به کسر
بدون کاستن از کلیت مسئله، فرض می‌کنیم هر دو نقطه به سر $A$ نزدیک‌ترند. طول پاره‌خط را $AB=x$ می‌گیریم.

نقطهٔ $M$ پاره‌خط را به نسبت $1:5$ تقسیم می‌کند؛ پس کل پاره‌خط شامل $1+5=6$ سهم است و داریم:
$AM=\frac{1}{6}x$ .

برای نقطهٔ $N$ نیز نسبت تقسیم $3:4$ است؛ بنابراین:
$AN=\frac{3}{3+4}x=\frac{3}{7}x$ .

۲. نوشتن رابطهٔ فاصلهٔ دو نقطه
چون $\frac{1}{6}<\frac{3}{7}$ ، ترتیب نقاط به‌صورت $A,M,N,B$ است. طبق رابطهٔ جمع طول پاره‌خط‌های متوالی، $AM+MN=AN$ ؛ بنابراین فاصلهٔ دو نقطه از تفاضل فاصله‌هایشان تا سر مشترک به دست می‌آید (ریاضی هفتم، صفحهٔ ۴۲):
$MN=AN-AM$ .

۳. محاسبهٔ طول پاره‌خط
با جای‌گذاری داده‌ها:
$22=\frac{3}{7}x-\frac{1}{6}x=\frac{18-7}{42}x=\frac{11}{42}x$ .
پس:
$x=22\times\frac{42}{11}=84$ .

۴. محاسبهٔ مجموع ارقام
سؤال مجموع ارقام طول پاره‌خط را می‌خواهد، نه خود طول را؛ بنابراین:
$8+4=12$ .

پاسخ: گزینهٔ ۳

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: ممکن است مجموع سهم‌های نسبت اول، یعنی $1+5=6$ ، با پاسخ اشتباه گرفته شود؛ اما این عدد فقط تعداد سهم‌های مساوی در تقسیم اول است، نه مجموع ارقام طول پاره‌خط.
گزینهٔ ۲: ممکن است با جمع‌کردن سهم‌های بزرگ‌تر دو نسبت، یعنی $5+4=9$ ، به این گزینه برسید؛ اما سهم‌های دو تقسیم هم‌اندازه نیستند و چنین جمعی طول پاره‌خط را مشخص نمی‌کند.
گزینهٔ ۴: این گزینه ممکن است بر اثر خطای محاسباتی در تفریق کسرها یا جمع ارقام انتخاب شود. با محاسبهٔ درست، طول پاره‌خط $84$ و مجموع ارقام آن $12$ است، نه $15$ .

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

رابطهٔ جمع و تفریق طول پاره‌خط‌های روی یک خط را به یاد بیاورید. شرط نزدیک‌تر بودن هر دو نقطه به یک سر، مشخص می‌کند فاصله‌های آن‌ها را باید از کدام سر مقایسه کنید.
سر مشترکی را که هر دو نقطه به آن نزدیک‌ترند، $A$ بنامید. در تقسیم به نسبت $1:5$ ، فاصلهٔ نقطهٔ تقسیم تا این سر، یک سهم از شش سهم کل است؛ برای نسبت دوم نیز همین کار را انجام دهید.
اگر طول کل را $x$ بگیرید، فاصلهٔ دو نقطه برابر $\left(\frac{3}{7}-\frac{1}{6}\right)x$ است. آن را برابر فاصلهٔ داده‌شده بگذارید؛ پس از یافتن طول کل، ارقام آن را جمع کنید.

فصل «هندسه و استدلال» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.