نمونه سوال فصل ۴ ریاضی هفتم با جواب

نقاط به‌ترتیب روی خط قرار دارند؛ بنابراین طول کل برابر مجموع طول سه قسمت است. اگر $\overline{BC}=x$ باشد، داریم $\overline{AB}=2x$ و $\overline{CD}=x+3$. پس $2x+x+(x+3)=23$ و در نتیجه $4x=20$ و $x=5$. اکنون $\overline{BD}=\overline{BC}+\overline{CD}=5+8=13\,\mathrm{cm}$ است. این محاسبه بر جمع طول پاره‌خط‌های متوالی تکیه دارد. (صفحهٔ ۴۳ و ۴۴) پاسخ: گزینهٔ ۲

طول ضلع سوم را برحسب سانتی‌متر $n$ می‌نامیم. از شرط تشکیل مثلث، $4+n>9$ و $4+9>n$ به‌دست می‌آید؛ پس $5<n<13$. نامساوی $9+n>4$ نیز برای این مقدارها برقرار است. بنابراین مقدارهای صحیح مجاز عبارت‌اند از $6,7,8,9,10,11,12$ که تعدادشان $7$ است. تساوی در دو مرز پذیرفته نیست، زیرا نامساوی مثلث باید اکید باشد. (صفحهٔ ۴۲) پاسخ: گزینهٔ ۴

در نام سه‌حرفی زاویه، نام رأس در وسط نوشته می‌شود. چون رأس زاویه $M$ است و دو ضلع آن از $P$ و $Q$ می‌گذرند، هر دو نام $\angle PMQ$ و $\angle QMP$ همان زاویه را نشان می‌دهند. در سایر نام‌های پیشنهادشده، رأس در جای درست قرار ندارد. (صفحهٔ ۴۵) پاسخ: گزینهٔ ۱

چون $OB$ نیم‌ساز $\angle AOC$ است، داریم $\angle AOB=\angle BOC=28^\circ$. بنابراین $\angle AOC=28^\circ+28^\circ=56^\circ$. از طرفی، $OA$ و $OD$ دو نیم‌خط مخالف‌اند؛ پس $\angle AOC+\angle COD=180^\circ$. در نتیجه $\angle COD=180^\circ-56^\circ=124^\circ$. (صفحهٔ ۴۵) پاسخ: گزینهٔ ۳

در چندضلعی $P$، همهٔ زاویه‌ها از $180^\circ$ کوچک‌ترند؛ پس این چندضلعی محدب است. با وجود برابری ضلع‌ها، چون زاویه‌های آن همگی برابر نیستند، منتظم نیست. چندضلعی $Q$ نیز به دلیل داشتن دست‌کم یک زاویهٔ بزرگ‌تر از $180^\circ$، مقعر است. (صفحهٔ ۴۶ و ۴۷) پاسخ: گزینهٔ ۲

پیکان در ابتدا رو به راست است. با دوران $90^\circ$ ساعت‌گرد، رو به پایین و با دوران $90^\circ$ پادساعت‌گرد، رو به بالا قرار می‌گیرد؛ پس دو نتیجه متفاوت‌اند. اما دوران $180^\circ$ در هر یک از دو جهت، پیکان را رو به چپ قرار می‌دهد و جای نهایی شکل یکسان است. به همین دلیل، برای نیم‌دور تعیین جهت ضروری نیست. (صفحهٔ ۴۸ و ۴۹) پاسخ: گزینهٔ ۴

از $\triangle ABC\cong\triangle EFD$، تناظر رأس‌ها به‌صورت $A\leftrightarrow E$، $B\leftrightarrow F$ و $C\leftrightarrow D$ است؛ بنابراین $\overline{AB}=\overline{EF}$. پس $3x-2=x+10$ و در نتیجه $x=6$. اکنون $\angle EFD=(4\times6+8)^\circ=32^\circ$. با استفاده از مجموع زاویه‌های مثلث، $\angle FED=180^\circ-32^\circ-58^\circ=90^\circ$. چون رأس‌های $A$ و $E$ متناظرند، $\angle BAC=90^\circ$ است. (صفحهٔ ۴۶ و ۴۷ و ۵۱) پاسخ: گزینهٔ ۳

اگر چهارضلعی‌ها با تناظر $A\leftrightarrow E$، $B\leftrightarrow F$، $C\leftrightarrow G$ و $D\leftrightarrow H$ هم‌نهشت باشند، علاوه بر ضلع‌ها، زاویه‌های متناظر نیز باید برابر باشند. ولی $\angle DAB=80^\circ$ و $\angle HEF=100^\circ$ است و این دو زاویه برابر نیستند. پس هم‌نهشتی با این تناظر ممکن نیست. انجام یک یا چند انتقال، تقارن یا دوران نیز نمی‌تواند این نابرابری را از بین ببرد؛ زیرا حاصل چنین تبدیل‌هایی با شکل نخست هم‌نهشت است. (صفحهٔ ۵۱ تا ۵۳) پاسخ: گزینهٔ ۱

تقارن، دوران و انتقال از تبدیل‌هایی هستند که با اجرای یک یا چند مورد از آن‌ها می‌توان هم‌نهشتی دو شکل را نشان داد. بنابراین، اجرای متوالی این تبدیل‌ها نشان می‌دهد شکل نخست و آخر هم‌نهشت‌اند و اجزای متناظرشان برابر است؛ بااین‌حال، یکسان‌بودن جهت قرارگیری آن‌ها یا امکان جایگزینی همهٔ مراحل با یک انتقال تضمین نمی‌شود. (صفحهٔ ۵۱) پاسخ: گزینهٔ ۲

در مثلث اصلی داریم: $\angle BAC=180^\circ-54^\circ-38^\circ=88^\circ$. چون $AD$ نیم‌ساز است، $\angle BAD=44^\circ$ می‌شود. همچنین، چون $D$ روی ضلع $BC$ قرار دارد، $\angle ABD=54^\circ$ است. پس در مثلث $ABD$ داریم: $\angle ADB=180^\circ-44^\circ-54^\circ=82^\circ$. تعریف نیم‌ساز در صفحهٔ ۴۵ و مجموع زاویه‌های مثلث در صفحهٔ ۴۶ آمده است. پاسخ: گزینهٔ ۳

طول هر فاصلهٔ متوالی را $u$ می‌گیریم. در این صورت، $\overline{AG}=6u$ و نصف آن $3u$ است. پس فقط پاره‌خط‌های با طول‌های $4u$، $5u$ و $6u$ پذیرفته‌اند. پاره‌خط‌های گروه نخست $AE$، $BF$ و $CG$، گروه دوم $AF$ و $BG$ و گروه سوم $AG$ هستند. بنابراین تعداد کل برابر است با $3+2+1=6$. این شمارش بر جمع طول پاره‌خط‌های متوالی و فاصله‌های مساوی تکیه دارد. (صفحه‌های ۴۳ و ۴۴) پاسخ: گزینهٔ ۴

دو زاویهٔ موردنظر برابر $180^\circ-x$ و $90^\circ-x$ هستند. با استفاده از مجموع زاویه‌های مثلث، زاویهٔ سوم برابر است با $180^\circ-[(180^\circ-x)+(90^\circ-x)]=2x-90^\circ$. مثبت‌بودن زاویهٔ دوم ایجاب می‌کند $x<90^\circ$ و مثبت‌بودن زاویهٔ سوم ایجاب می‌کند $x>45^\circ$. در اشتراک این دو شرط، زاویهٔ نخست نیز مثبت است و مجموع سه زاویه همان $180^\circ$ خواهد بود. بنابراین بازهٔ دقیق، $45^\circ<x<90^\circ$ است. تعریف متمم و مکمل در صفحهٔ ۴۵ و مجموع زاویه‌های مثلث در صفحهٔ ۴۶ آمده است. پاسخ: گزینهٔ ۱