نمونه سوال فصل ۵ ریاضی هفتم با جواب

شمارندهٔ اول باید هم شمارندهٔ عدد داده‌شده باشد و هم خودش عددی اول باشد. با تجزیه داریم: $84=2\times42=2\times2\times3\times7$. بنابراین شمارنده‌های اول متفاوت آن، $2$ و $3$ و $7$ هستند. عدد $1$ اول نیست و عدد $4$ نیز با اینکه شمارندهٔ $84$ است، شمارندهٔ اول نیست. (صفحهٔ ۵۷ و صفحات ۵۹–۶۰) پاسخ: گزینهٔ ۱

زوج‌های ضربی عدد عبارت‌اند از $1\times28$، $2\times14$ و $4\times7$. پس شمارنده‌ها برابرند با $1،2،4،7،14،28$. از میان آن‌ها، فقط $2$ و $7$ اول هستند. عدد $1$ نیز چون دقیقاً دو شمارنده ندارد، اول نیست. بنابراین جمع خواسته‌شده برابر است با $1+4+14+28=47$. (صفحات ۵۶–۵۷) پاسخ: گزینهٔ ۲

عدد داده‌شده برابر است با $a=2\times2\times3\times5$. داریم: $12=2\times2\times3$، $30=2\times3\times5$ و $20=2\times2\times5$؛ بنابراین این سه عدد با انتخاب عامل‌های موجود در تجزیهٔ $a$ ساخته می‌شوند. اما $90=2\times3\times3\times5$ به دو عامل $3$ نیاز دارد، درحالی‌که تجزیهٔ $a$ فقط یک عامل $3$ دارد. پس $90$ شمارندهٔ $a$ نیست. (صفحات ۵۹–۶۰) پاسخ: گزینهٔ ۳

تعداد بسته‌ها باید شمارندهٔ مشترک $48$ و $72$ باشد. برای بیشترین تعداد بسته، ب.م.م را می‌یابیم: $48=2\times2\times2\times2\times3$ و $72=2\times2\times2\times3\times3$؛ پس ب.م.م آن‌ها $2\times2\times2\times3=24$ است. در هر بسته $48\div24=2$ مداد و $72\div24=3$ خودکار قرار می‌گیرد. بنابراین هر بسته در مجموع $2+3=5$ وسیله دارد. (صفحهٔ ۶۲) پاسخ: گزینهٔ ۴

داریم $12=2\times2\times3$ و $18=2\times3\times3$؛ بنابراین ک.م.م مخرج‌ها $2\times2\times3\times3=36$ است. پس $\frac{5}{12}=\frac{15}{36}$ و $\frac{7}{18}=\frac{14}{36}$. در نتیجه $\frac{5}{12}+\frac{7}{18}=\frac{15+14}{36}=\frac{29}{36}$. چون $29$ و $36$ شمارندهٔ اول مشترکی ندارند، کسر حاصل ساده است. (صفحهٔ ۶۶) پاسخ: گزینهٔ ۱

چون $p$ و $q$ عددهای اول بزرگ‌تر از $2$ هستند، هر دو فردند. بنابراین $p+q$ زوج و بزرگ‌تر از $2$ است؛ پس علاوه بر یک و خودش، شمارندهٔ $2$ را نیز دارد و اول نیست. سایر عبارت‌ها می‌توانند اول شوند: برای $p=3$ داریم $p+2=5$؛ برای $p=3$ و $q=5$ داریم $q-p=2$؛ و برای $p=3$ و $q=7$ داریم $p+q+1=11$. (صفحات ۵۷–۵۸) پاسخ: گزینهٔ ۲

تجزیه‌ها عبارت‌اند از $36=2\times2\times3\times3$، $12=2\times2\times3$ و $180=2\times2\times3\times3\times5$. چون ب.م.م برابر $12$ است، عدد $n$ باید دست‌کم دو عامل $2$ و دقیقاً یک عامل $3$ داشته باشد؛ وجود دو عامل $3$ در آن، ب.م.م را بزرگ‌تر می‌کند. از طرف دیگر، ک.م.م فقط دو عامل $2$ دارد، پس $n$ نمی‌تواند عامل $2$ بیشتری داشته باشد. عامل $5$ موجود در ک.م.م نیز باید از $n$ آمده باشد و فقط یک بار تکرار شود. عامل اول دیگری هم مجاز نیست، زیرا وارد ک.م.م می‌شود. بنابراین $n=2\times2\times3\times5=60$. (صفحات ۶۲ و ۶۶) پاسخ: گزینهٔ ۳

برای آنکه یک شمارنده بر $6=2\times3$ بخش‌پذیر باشد، باید دست‌کم یک عامل $2$ و یک عامل $3$ داشته باشد. برای آنکه بر $12=2\times2\times3$ بخش‌پذیر نباشد، با وجود داشتن عامل $3$، نباید دو عامل $2$ داشته باشد. پس دقیقاً یک عامل $2$ در آن وجود دارد. از تجزیهٔ $N$ می‌توان یک یا دو عامل $3$ برداشت؛ بنابراین شمارنده‌های مطلوب $2\times3=6$ و $2\times3\times3=18$ هستند و تعدادشان $2$ است. (صفحات ۵۹–۶۰) پاسخ: گزینهٔ ۴

از $49=7\times7$ به دست می‌آید که شمارنده‌های این عدد $1$، $7$ و $49$ هستند. بنابراین، چون بیش از دو شمارنده دارد، اول نیست. در میان شمارنده‌های آن فقط $7$ اول است؛ تکرار این عامل در تجزیه، شمارندهٔ اولِ متفاوتی ایجاد نمی‌کند. (صفحهٔ ۵۷ و صفحهٔ ۵۹) پاسخ: گزینهٔ 2

تجزیهٔ دو عدد برابر است با $8=2\times2\times2$ و $14=2\times7$. پس ک.م.م آن‌ها $[8,14]=2\times2\times2\times7=56$ است. مضرب‌های مشترک مثبت با مضرب‌های $56$ به دست می‌آیند. چون $56<100$ و $2\times56=112>100$، نخستین مضرب مشترک بزرگ‌تر از حد خواسته‌شده $112$ است. (صفحهٔ ۶۵ و صفحهٔ ۶۶) پاسخ: گزینهٔ 3

چون $a$ شمارندهٔ $b$ است، برای عدد طبیعی $k$ داریم $b=ka$. همچنین، چون $b$ شمارندهٔ $c$ است، برای عدد طبیعی $m$ داریم $c=mb=mka$. پس $a$ شمارندهٔ $c$ نیز هست. از طرفی هیچ شمارندهٔ $a$ از خود آن بزرگ‌تر نیست؛ بنابراین بزرگ‌ترین شمارندهٔ مشترک $a$ و $c$ همان $a$ است. همچنین، چون $c$ مضرب $a$ است، ک.م.م آن‌ها $c$ خواهد بود، نه $a$ یا $b$. (صفحهٔ ۵۶، صفحهٔ ۶۴ و صفحهٔ ۶۶) پاسخ: گزینهٔ 1

برای اینکه صورت کسر $\frac{84}{n}$ پس از ساده‌سازی کامل برابر $7$ شود، باید صورت و مخرج بر $84\div7=12$ تقسیم شوند؛ بنابراین لازم است $(84,n)=12$ باشد. پس $n$ باید مضرب $12$ باشد و طبق شرط سؤال، مضرب $15$ نیز باشد. با تجزیهٔ $12=2\times2\times3$ و $15=3\times5$، کوچک‌ترین مضرب مشترک آن‌ها $[12,15]=2\times2\times3\times5=60$ است. اکنون شرط ب.م.م را بررسی می‌کنیم: $84=2\times2\times3\times7$ و $60=2\times2\times3\times5$، پس $(84,60)=12$. در نتیجه $\frac{84}{60}=\frac{7}{5}$ و این کسر دیگر ساده نمی‌شود. بنابراین کوچک‌ترین مقدار مجاز $n$ برابر $60$ است. (صفحهٔ ۶۰ و صفحهٔ ۶۱، صفحهٔ ۶۲ و صفحهٔ ۶۶) پاسخ: گزینهٔ 4