نمونه سوال ریاضی هفتم با جواب

در راهبرد زیرمسئله، مسئلهٔ چندمرحله‌ای به بخش‌هایی تقسیم می‌شود که حل آن‌ها با ترتیب مناسب، ما را به پاسخ اصلی می‌رساند (صفحهٔ ۷). در راهبرد حل مسئلهٔ ساده‌تر، ابتدا نمونه‌ای آسان‌تر بررسی می‌شود و سپس نتیجه یا الگوی آن برای مسئلهٔ اصلی به کار می‌رود (صفحهٔ ۸). حدس و آزمایش نیز به بررسی حدس با شرایط مسئله نیاز دارد و مدل‌سازی هندسی می‌تواند نوعی روش نمادین باشد (صفحه‌های ۶ و ۹). بنابراین فقط عبارت سوم درست است. پاسخ: گزینهٔ ۳

طبق راهبرد حدس و آزمایش، گزینه‌ها را با هر دو شرط بررسی می‌کنیم (صفحهٔ ۶). مجموع رقم‌های هر چهار گزینه $11$ است، پس این شرط به‌تنهایی کافی نیست. عدد $47$ پس از جابه‌جایی به $74$ تبدیل می‌شود و افزایش می‌یابد. برای سه گزینهٔ دیگر داریم: $74-47=27$، $83-38=45$ و $65-56=9$. فقط عدد $74$ کاهش خواسته‌شده را ایجاد می‌کند. پاسخ: گزینهٔ ۲

عددهای صحیح شامل عددهای مثبت، صفر و عددهای منفی‌اند. صفر در هیچ‌یک از دو گروه مثبت و منفی قرار نمی‌گیرد و قرینهٔ آن نیز صفر است. قرینهٔ عدد صحیح مثبت، منفی است؛ بنابراین طبیعی نیست. همچنین وجود عددهای صحیح منفی نشان می‌دهد که هر عدد صحیح، طبیعی نیست. صفر نیز مثال نقض گزینهٔ چهارم است. (صفحهٔ ۱۴)
پاسخ: گزینهٔ ۲

قرینهٔ عدد $-4$ برابر $+4$ است. پس نقطهٔ شروع، $+4$ خواهد بود. حرکت‌های پیاپی را با جمع نمایش می‌دهیم: $4+(-9)+2=-3$. سؤال قرینهٔ عدد نقطهٔ پایان را می‌خواهد؛ بنابراین باید قرینهٔ $-3$ را به دست آوریم که $+3$ است. (صفحه‌های ۱۴ تا ۱۶)
پاسخ: گزینهٔ ۴

برای تشخیص جمله‌های متشابه، باید بخش متغیری آن‌ها یکسان باشد؛ برابر بودن ضریب‌ها لازم نیست (صفحهٔ ۳۲). همچنین با جابه‌جایی عامل‌های ضرب داریم $ba=ab$ (صفحهٔ ۲۹). بنابراین $4ab$ و $-7ba=-7ab$ متشابه‌اند. در سایر گزینه‌ها بخش متغیری دو جمله متفاوت است. پاسخ: گزینهٔ 1

در این قرارداد، هزینهٔ سفر $5$ ساعته برابر $a+2b$ و هزینهٔ سفر $8$ ساعته برابر $a+5b$ است؛ زیرا فقط ساعت‌های پس از $3$ ساعت اولیه جداگانه محاسبه می‌شوند (صفحهٔ ۲۷). با کم کردن این دو هزینه و جمع کردن جمله‌های متشابه داریم $(a+5b)-(a+2b)=3b$ (صفحهٔ ۳۲). پاسخ: گزینهٔ 2

نقاط به‌ترتیب روی خط قرار دارند؛ بنابراین طول کل برابر مجموع طول سه قسمت است. اگر $\overline{BC}=x$ باشد، داریم $\overline{AB}=2x$ و $\overline{CD}=x+3$. پس $2x+x+(x+3)=23$ و در نتیجه $4x=20$ و $x=5$. اکنون $\overline{BD}=\overline{BC}+\overline{CD}=5+8=13\,\mathrm{cm}$ است. این محاسبه بر جمع طول پاره‌خط‌های متوالی تکیه دارد. (صفحهٔ ۴۳ و ۴۴) پاسخ: گزینهٔ ۲

طول ضلع سوم را برحسب سانتی‌متر $n$ می‌نامیم. از شرط تشکیل مثلث، $4+n>9$ و $4+9>n$ به‌دست می‌آید؛ پس $5<n<13$. نامساوی $9+n>4$ نیز برای این مقدارها برقرار است. بنابراین مقدارهای صحیح مجاز عبارت‌اند از $6,7,8,9,10,11,12$ که تعدادشان $7$ است. تساوی در دو مرز پذیرفته نیست، زیرا نامساوی مثلث باید اکید باشد. (صفحهٔ ۴۲) پاسخ: گزینهٔ ۴

شمارندهٔ اول باید هم شمارندهٔ عدد داده‌شده باشد و هم خودش عددی اول باشد. با تجزیه داریم: $84=2\times42=2\times2\times3\times7$. بنابراین شمارنده‌های اول متفاوت آن، $2$ و $3$ و $7$ هستند. عدد $1$ اول نیست و عدد $4$ نیز با اینکه شمارندهٔ $84$ است، شمارندهٔ اول نیست. (صفحهٔ ۵۷ و صفحات ۵۹–۶۰) پاسخ: گزینهٔ ۱

زوج‌های ضربی عدد عبارت‌اند از $1\times28$، $2\times14$ و $4\times7$. پس شمارنده‌ها برابرند با $1،2،4،7،14،28$. از میان آن‌ها، فقط $2$ و $7$ اول هستند. عدد $1$ نیز چون دقیقاً دو شمارنده ندارد، اول نیست. بنابراین جمع خواسته‌شده برابر است با $1+4+14+28=47$. (صفحات ۵۶–۵۷) پاسخ: گزینهٔ ۲

هندسی‌بودن یک حجم به مشخص و تعریف‌شده‌بودن شکل آن مربوط است، نه به طبیعی یا مصنوعی‌بودنش. در کتاب، بلورهای معدنی نمونه‌ای از اجسام طبیعی دارای حجم هندسی معرفی شده‌اند. همچنین حجم‌های هندسی فقط منشوری نیستند و می‌توانند هرمی، کروی یا ترکیبی باشند. (صفحه‌های ۷۰ تا ۷۲) پاسخ: گزینهٔ ۲

اگر قاعدهٔ منشور دارای $n$ ضلع باشد، هر قاعده $n$ رأس و $n$ یال دارد. همچنین $n$ یال، رأس‌های متناظر دو قاعده را به هم وصل می‌کنند. بنابراین تعداد رأس‌ها $2n$ و تعداد یال‌ها $3n$ است. طبق شرط سؤال، $3n-2n=7$، پس $n=7$. منشور دارای $7$ وجه جانبی و دو قاعده است؛ بنابراین تعداد کل وجه‌های آن $7+2=9$ است. (صفحهٔ ۷۱) پاسخ: گزینهٔ ۴

مکعب یک عبارت یعنی توان سوم آن (صفحهٔ ۸۶). در اینجا عبارت موردنظر، حاصل‌ضرب $a$ و $b$ است؛ پس مکعب آن برابر است با $(ab)^3=(ab)(ab)(ab)$. همچنین می‌توان آن را به شکل $a^3b^3$ نوشت (صفحهٔ ۹۱). پاسخ: گزینهٔ ۲

طبق الگوی تقسیم سلول‌ها، در هر مرحله تعداد آن‌ها دو برابر می‌شود (صفحهٔ ۸۵). بنابراین، با شروع از $3$ سلول، پس از $n$ مرحله تعداد سلول‌ها برابر $3\times2^n$ است. از $3\times2^n=96$ نتیجه می‌شود $2^n=32$. چون $32=2\times2\times2\times2\times2=2^5$، تعداد مراحل برابر $5$ است. پاسخ: گزینهٔ ۴

برای برابری دو بردار، باید راستا، اندازه و جهت آن‌ها یکسان باشد. یکسان بودن نقطهٔ آغاز جزو این شرط‌ها نیست؛ بنابراین می‌توان بردارهای برابر را در محل‌های مختلف رسم کرد. هم‌اندازه بودن به‌تنهایی، یا همراه با هم‌راستا بودن بدون توجه به جهت، کافی نیست. (صفحه‌های ۱۰۱ و ۱۰۲) پاسخ: گزینهٔ ۲

در نقطهٔ $P=\begin{bmatrix}0\\-2.5\end{bmatrix}$، طول صفر و عرض منفی است؛ پس این نقطه روی نیم‌محور منفی عرض‌ها قرار دارد. در نقطهٔ $Q=\begin{bmatrix}-2.5\\0\end{bmatrix}$، عرض صفر و طول منفی است؛ پس این نقطه روی نیم‌محور منفی طول‌هاست. نقطه‌های روی محورها درون هیچ‌یک از چهار ناحیه نیستند. (صفحهٔ ۱۰۴) پاسخ: گزینهٔ ۴

اطلاعاتی که از پرسش از افراد به دست می‌آید، داده‌های آماری نام دارد. آمار علاوه بر جمع‌آوری اطلاعات، سازمان‌دهی و بررسی آن‌ها را نیز در بر می‌گیرد؛ بنابراین تهیهٔ جدول و مقایسهٔ پاسخ‌ها هم کار آماری است (صفحهٔ ۱۱۲). همچنین آمار به پیش‌بینی کمک می‌کند، نه اینکه هر رویداد آینده را قطعی سازد (صفحهٔ ۱۱۱). پاسخ: گزینهٔ ۱

در پرسش آزاد، هر دانش‌آموز می‌تواند فعالیت موردعلاقهٔ خود را بیان کند؛ اما در پرسش محدود، کسی که فعالیت دلخواهش در فهرست نیست، باید یکی از موارد پیشنهادی را برگزیند. بنابراین با ثابت‌بودن افراد نیز ممکن است نتایج تغییر کند. آسان‌ترشدن شمارش، به‌تنهایی نشانهٔ کامل‌ترشدن اطلاعات نیست. این تفاوت، همان نکتهٔ مطرح‌شده در مقایسهٔ روش‌های جمع‌آوری نظرهاست (صفحه‌های ۱۱۲ و ۱۱۳). پاسخ: گزینهٔ ۳