نمونه سوال فصل ۱ ریاضی هفتم با جواب

در راهبرد زیرمسئله، مسئلهٔ چندمرحله‌ای به بخش‌هایی تقسیم می‌شود که حل آن‌ها با ترتیب مناسب، ما را به پاسخ اصلی می‌رساند (صفحهٔ ۷). در راهبرد حل مسئلهٔ ساده‌تر، ابتدا نمونه‌ای آسان‌تر بررسی می‌شود و سپس نتیجه یا الگوی آن برای مسئلهٔ اصلی به کار می‌رود (صفحهٔ ۸). حدس و آزمایش نیز به بررسی حدس با شرایط مسئله نیاز دارد و مدل‌سازی هندسی می‌تواند نوعی روش نمادین باشد (صفحه‌های ۶ و ۹). بنابراین فقط عبارت سوم درست است. پاسخ: گزینهٔ ۳

طبق راهبرد حدس و آزمایش، گزینه‌ها را با هر دو شرط بررسی می‌کنیم (صفحهٔ ۶). مجموع رقم‌های هر چهار گزینه $11$ است، پس این شرط به‌تنهایی کافی نیست. عدد $47$ پس از جابه‌جایی به $74$ تبدیل می‌شود و افزایش می‌یابد. برای سه گزینهٔ دیگر داریم: $74-47=27$، $83-38=45$ و $65-56=9$. فقط عدد $74$ کاهش خواسته‌شده را ایجاد می‌کند. پاسخ: گزینهٔ ۲

ابتدا مسئله‌های ساده‌تر را بررسی می‌کنیم: $1=1$، $1+3=4$، $1+3+5=9$ و $1+3+5+7=16$. الگو نشان می‌دهد مجموع نخستین $n$ عدد فرد برابر $n^2$ است. استفاده از نمونه‌های کوچک و تعمیم نظم آن‌ها، ترکیبی از حل مسئلهٔ ساده‌تر و الگویابی است (صفحه‌های ۵ و ۸). عدد فرد سی‌ام $59$ و عدد فرد دهم $19$ است. بنابراین عبارت خواسته‌شده از کم کردن مجموع ده عدد فرد نخست از مجموع سی عدد فرد نخست به دست می‌آید: $30^2-10^2=900-100=800$. پاسخ: گزینهٔ ۴

ابتدا حالت‌هایی را می‌نویسیم که رقم دهگان از یکان بزرگ‌تر باشد: $21،31،32،41،42،43$. سپس شرط فرد بودن مجموع رقم‌ها را بررسی می‌کنیم. عددهای $31$ و $42$ مجموع رقم‌های زوج دارند و حذف می‌شوند. عددهای باقی‌مانده $21،32،41،43$ هستند؛ پس $4$ عدد مطلوب داریم. نوشتن منظم حالت‌ها و حذف موارد ناسازگار، مطابق راهبردهای الگوسازی و حذف حالت‌های نامطلوب است (صفحه‌های ۳ و ۴). پاسخ: گزینهٔ ۱

با راهبرد زیرمسئله، مراحل را به ترتیب حل می‌کنیم (صفحهٔ ۷). ابتدا پس از خارج شدن یک‌چهارم آب موجود، سهم آب باقی‌مانده از گنجایش مخزن برابر است با $\frac{3}{4}\times\frac{3}{5}=\frac{9}{20}$. سهم نهایی آب $\frac{3}{4}=\frac{15}{20}$ است؛ پس آب افزوده‌شده برابر $\frac{15}{20}-\frac{9}{20}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$ گنجایش مخزن است. چون این سهم برابر $18\ \text{لیتر}$ است، گنجایش مخزن برابر می‌شود با $18\div\frac{3}{10}=60\ \text{لیتر}$. پاسخ: گزینهٔ ۱

با رسم شکل مشخص می‌شود که سه مستطیل روی هم، مربعی به ضلع $6\ \text{سانتی‌متر}$ می‌سازند. محیط بیرونی این مربع $4\times6=24\ \text{سانتی‌متر}$ است. داخل مربع نیز دو مرز مشترک وجود دارد که طول هرکدام $6\ \text{سانتی‌متر}$ است. بنابراین طول کل نوار برابر است با $24+2\times6=36\ \text{سانتی‌متر}$. رسم شکل ساده کمک می‌کند مرزهای مشترک را نه حذف کنیم و نه دوبار بشماریم (صفحهٔ ۲). پاسخ: گزینهٔ ۳

در معرفی روش‌های نمادین، نمایش هندسیِ روابط مسئله نیز نوعی مدل‌سازی معرفی شده است؛ بنابراین استفاده از نمادهای جبری شرط لازم این راهبرد نیست. در روش توصیف‌شده، نه حالت‌ها فهرست شده‌اند، نه الگویی میان مراحل یافته شده و نه پاسخ‌های احتمالی آزمایش شده‌اند. (صفحهٔ ۸–۹)
پاسخ: گزینهٔ ۱

عددهای ممکن از $0$ تا $39$ هستند؛ پس $40$ حالت داریم. پرسش نخست، حالت‌ها را به گروه‌های $10$ و $30$ عضوی تقسیم می‌کند. پرسش دوم، دو گروه $20$ عضوی می‌سازد. پرسش سوم، گروه‌های $4$ و $36$ عضوی و پرسش چهارم، گروه‌های $1$ و $39$ عضوی ایجاد می‌کند. بنابراین بیشترین تعداد حالت باقی‌مانده برای این پرسش‌ها به‌ترتیب $30$، $20$، $36$ و $39$ است. کوچک‌ترینِ این تعدادها مربوط به پرسش دوم است. این مقایسه بر راهبرد حذف حالت‌های نامطلوب تکیه دارد. (صفحهٔ ۴)
پاسخ: گزینهٔ ۲

تعداد بسته‌های چهارتایی را $a$ و تعداد بسته‌های هفت‌تایی را $b$ می‌نامیم. باید $4a+7b=60$ باشد و هر دو تعداد مثبت باشند. چون $b$ حداکثر $8$ است، مقدارهای $1$ تا $8$ را منظم بررسی می‌کنیم. باقی‌مانده‌های $60-7b$ به‌ترتیب برابر $53$، $46$، $39$، $32$، $25$، $18$، $11$ و $4$ هستند. فقط $32$ و $4$ بر $4$ بخش‌پذیرند؛ پس ترکیب‌ها عبارت‌اند از $8$ بستهٔ چهارتایی و $4$ بستهٔ هفت‌تایی، یا $1$ بستهٔ چهارتایی و $8$ بستهٔ هفت‌تایی. حالت $15$ بستهٔ چهارتایی پذیرفته نیست، چون از نوع دیگر استفاده نشده است. این روش، ترکیبی از الگوسازی و حذف حالت‌های نامطلوب است. (صفحهٔ ۳ و صفحهٔ ۴)
پاسخ: گزینهٔ ۳

با حل نمونه‌های ساده‌تر داریم: $\frac13+\frac19=\frac49=\frac{1-\frac19}{2}$ و $\frac13+\frac19+\frac1{27}=\frac{13}{27}=\frac{1-\frac1{27}}2$. برای بررسی رابطه در عبارت اصلی، مجموع را $S$ می‌نامیم. آنگاه $3S=1+\frac13+\frac19+\frac1{27}+\frac1{81}$ است. با کم‌کردن $S$ از این تساوی، جمله‌های مشترک حذف می‌شوند و $2S=1-\frac1{243}=\frac{242}{243}$ به دست می‌آید. پس $S=\frac{121}{243}$. این حل از ساده‌کردن مسئله و یافتن رابطه استفاده می‌کند. (صفحهٔ ۵ و صفحهٔ ۸–۹)
پاسخ: گزینهٔ ۴

مبلغ حدس برابر $10\times60000+10\times40000=1000000$ تومان است؛ یعنی $40000$ تومان بیشتر از مبلغ واقعی. با جایگزینی هر بلیت عادی با یک بلیت دانش‌آموزی، تعداد کل ثابت می‌ماند و مبلغ $60000-40000=20000$ تومان کم می‌شود. پس باید $40000\div20000=2$ بلیت عادی با بلیت دانش‌آموزی عوض شود. این اصلاح هم جهت مناسب دارد و هم هر دو شرط تعداد و مبلغ را برقرار می‌کند. (صفحهٔ ۶–۷)
پاسخ: گزینهٔ ۲

ابتدا مساحت یک روی هر تابلو را به دست می‌آوریم: $2\times1.5=3\ \text{مترمربع}$. چون دو روی هر یک از $7$ تابلو رنگ می‌شود، مساحت کل برابر $7\times2\times3=42\ \text{مترمربع}$ است. رنگ موردنیاز برابر $42\times0.2=8.4\ \text{کیلوگرم}$ خواهد بود. هر قوطی $2\ \text{کیلوگرم}$ رنگ دارد؛ بنابراین $8.4\div2=4.2$ قوطی لازم است و باید $5$ قوطی کامل خرید. هزینهٔ رنگ $5\times180000=900000$ تومان و دستمزد $42\times25000=1050000$ تومان است. در نتیجه، هزینهٔ کل $900000+1050000=1950000$ تومان می‌شود. ترتیب این زیرمسئله‌ها مهم است؛ زیرا مقدار رنگ و دستمزد به مساحت، و هزینهٔ خرید رنگ به تعداد قوطی‌های کامل وابسته است. (صفحهٔ ۷)
پاسخ: گزینهٔ ۱