نمونه سوال فصل ۶ ریاضی هفتم با جواب

هندسی‌بودن یک حجم به مشخص و تعریف‌شده‌بودن شکل آن مربوط است، نه به طبیعی یا مصنوعی‌بودنش. در کتاب، بلورهای معدنی نمونه‌ای از اجسام طبیعی دارای حجم هندسی معرفی شده‌اند. همچنین حجم‌های هندسی فقط منشوری نیستند و می‌توانند هرمی، کروی یا ترکیبی باشند. (صفحه‌های ۷۰ تا ۷۲) پاسخ: گزینهٔ ۲

اگر قاعدهٔ منشور دارای $n$ ضلع باشد، هر قاعده $n$ رأس و $n$ یال دارد. همچنین $n$ یال، رأس‌های متناظر دو قاعده را به هم وصل می‌کنند. بنابراین تعداد رأس‌ها $2n$ و تعداد یال‌ها $3n$ است. طبق شرط سؤال، $3n-2n=7$، پس $n=7$. منشور دارای $7$ وجه جانبی و دو قاعده است؛ بنابراین تعداد کل وجه‌های آن $7+2=9$ است. (صفحهٔ ۷۱) پاسخ: گزینهٔ ۴

حجم منشور از رابطهٔ $V=Sh$ به دست می‌آید. اگر مساحت قاعده و ارتفاع منشور اول را به‌ترتیب $S$ و $h$ بگیریم، حجم منشور دوم برابر است با $V_2=(\frac{3}{2}S)(\frac{2}{3}h)=Sh=V_1$. بنابراین افزایش مساحت قاعده و کاهش ارتفاع، اثر یکدیگر را خنثی می‌کنند. (صفحه‌های ۷۳ و ۷۴) پاسخ: گزینهٔ ۱

مساحت هر مربع شبکه $1\,\mathrm{cm^2}$ است. مربع‌های کاملاً داخل قاعده نشان می‌دهند که مساحت قاعده از $18\,\mathrm{cm^2}$ بیشتر است. با افزودن دو مربع مرزی نیز کران بالای $20\,\mathrm{cm^2}$ به دست می‌آید. پس $18<S<20$. با توجه به ارتفاع، $18\times7<V<20\times7$ و در نتیجه $126<V<140$، بر حسب $\mathrm{cm^3}$. مقدار $145\,\mathrm{cm^3}$ بیرون این بازه است، ولی سه مقدار دیگر درون آن هستند. (صفحه‌های ۷۳ و ۷۴) پاسخ: گزینهٔ ۳

حجم هر مکعب $3^3=27\,\mathrm{cm^3}$ است؛ پس حجم جسم جدید $2\times27=54\,\mathrm{cm^3}$ می‌شود. مساحت سطح هر مکعب $6\times3^2=54\,\mathrm{cm^2}$ است. در محل اتصال، دو وجه با مساحت مجموع $2\times9=18\,\mathrm{cm^2}$ از سطح خارجی کنار می‌روند. بنابراین مساحت خارجی برابر $108-18=90\,\mathrm{cm^2}$ است. (صفحه‌های ۷۳ و ۷۸) پاسخ: گزینهٔ ۲

برای جعبهٔ اول، مساحت کل برابر است با $A_1=2(2\times3+2\times12+3\times12)=2(6+24+36)=132\,\mathrm{cm^2}$. برای جعبهٔ دوم نیز $A_2=2(3\times4+3\times6+4\times6)=2(12+18+24)=108\,\mathrm{cm^2}$. بنابراین جعبهٔ دوم به اندازهٔ $132-108=24\,\mathrm{cm^2}$ مقوای کمتری می‌خواهد. این مقایسه نشان می‌دهد یکسان‌بودن حجم، به معنای یکسان‌بودن سطح لازم برای بسته‌بندی نیست. (صفحه‌های ۶۹ و ۷۸) پاسخ: گزینهٔ ۴

دوران مستطیل حول یکی از ضلع‌هایش، استوانه‌ای می‌سازد که ارتفاعش برابر طول همان ضلع و شعاعش برابر طول ضلع دیگر مستطیل است. بنابراین $h=5\,\mathrm{cm}$ و از $80\pi=\pi r^2\times5$ نتیجه می‌شود $r^2=16$؛ پس $r=4\,\mathrm{cm}$. مساحت مستطیل اولیه برابر $5\times4=20\,\mathrm{cm^2}$ است. (صفحه‌های ۷۴، ۷۹ و ۸۰) پاسخ: گزینهٔ ۱

حجم اولیهٔ آب برابر است با $V=120\times8=960\,\mathrm{cm^3}$. اگر سطح نهایی آب پایین‌تر از بالای جسم باشد، جسم در تمام ارتفاع آب، سطحی برابر $30\,\mathrm{cm^2}$ را اشغال می‌کند. پس مساحت مقطع فضای در دسترس آب $120-30=90\,\mathrm{cm^2}$ است و $90h=960$. بنابراین $h=\frac{960}{90}=\frac{32}{3}\,\mathrm{cm}$. چون $\frac{32}{3}<12$، فرض پایین‌تربودن سطح آب از بالای جسم درست است. استفاده از حجم کامل جسم نادرست است، زیرا بخشی از آن بیرون آب می‌ماند. (صفحه‌های ۷۳ تا ۷۵) پاسخ: گزینهٔ ۳

مرز مشترک دو وجه در یک منشور چندضلعی، یال نام دارد. نقطه‌ای نیز که در آن دو وجه جانبی و یک قاعده به هم می‌رسند، رأس است. بنابراین نام دو بخش خواسته‌شده، به‌ترتیب یال و رأس است. (صفحهٔ ۷۰ و ۷۱) پاسخ: گزینهٔ 2

ارتفاع منشور از رابطهٔ حجم به دست می‌آید: $h=\frac{V}{S}=\frac{54}{6}=9\,\mathrm{cm}$. (صفحهٔ ۷۴) محیط قاعده برابر است با $P=3+4+5=12\,\mathrm{cm}$. بنابراین مساحت جانبی برابر می‌شود با $S_{\text{جانبی}}=Ph=12\times9=108\,\mathrm{cm^2}$. (صفحهٔ ۷۶) پاسخ: گزینهٔ 4

اگر شعاع و ارتفاع استوانهٔ اول را $r$ و $h$ بگیریم، حجم آن $V=\pi r^2h$ است. شعاع استوانهٔ دوم $2r$ است؛ پس برای برابری حجم‌ها باید $\pi(2r)^2h_2=\pi r^2h$ باشد و در نتیجه $h_2=\frac{h}{4}$. (صفحهٔ ۷۴) مساحت جانبی استوانه برابر $2\pi rh$ است؛ بنابراین نسبت مساحت جانبی استوانهٔ دوم به اول برابر است با $\frac{2\pi(2r)(h/4)}{2\pi rh}=\frac{1}{2}$. (صفحهٔ ۷۷) پاسخ: گزینهٔ 1

مساحت قاعدهٔ مکعب‌مستطیل برابر است با $S=\frac{480}{10}=48\,\mathrm{cm^2}$. چون یک ضلع قاعده $8\,\mathrm{cm}$ است، ضلع دیگر آن $\frac{48}{8}=6\,\mathrm{cm}$ خواهد بود. (صفحهٔ ۷۳) مساحت کل جسم اولیه برابر است با $2(8\times6+8\times10+6\times10)=376\,\mathrm{cm^2}$. (صفحهٔ ۷۶ و ۸۲) صفحهٔ برش با وجهی به ابعاد $8\times10\,\mathrm{cm}$ موازی است؛ بنابراین روی هر قطعه یک سطح تازه به مساحت $80\,\mathrm{cm^2}$ ایجاد می‌شود. با جدا کردن قطعه‌ها، مجموع مساحت سطح آن‌ها برابر است با $376+2\times80=536\,\mathrm{cm^2}$. (صفحهٔ ۷۱ و ۸۲) پاسخ: گزینهٔ 3