نمونه سوال فصل ۷ ریاضی هفتم با جواب

مکعب یک عبارت یعنی توان سوم آن (صفحهٔ ۸۶). در اینجا عبارت موردنظر، حاصل‌ضرب $a$ و $b$ است؛ پس مکعب آن برابر است با $(ab)^3=(ab)(ab)(ab)$. همچنین می‌توان آن را به شکل $a^3b^3$ نوشت (صفحهٔ ۹۱). پاسخ: گزینهٔ ۲

طبق الگوی تقسیم سلول‌ها، در هر مرحله تعداد آن‌ها دو برابر می‌شود (صفحهٔ ۸۵). بنابراین، با شروع از $3$ سلول، پس از $n$ مرحله تعداد سلول‌ها برابر $3\times2^n$ است. از $3\times2^n=96$ نتیجه می‌شود $2^n=32$. چون $32=2\times2\times2\times2\times2=2^5$، تعداد مراحل برابر $5$ است. پاسخ: گزینهٔ ۴

باید توان‌ها را پیش از جمع و تفریق محاسبه کنیم (صفحهٔ ۸۷). با توجه به نقش پرانتز و قاعدهٔ توان صفر، داریم $(-3)^2=9$، $3^0=1$، $-2^3=-8$ و $(-2)^4=16$ (صفحه‌های ۸۸ و ۸۹). بنابراین $\frac{(-3)^2-3^0}{-2^3+(-2)^4}=\frac{9-1}{-8+16}=\frac{8}{8}=1$. پاسخ: گزینهٔ ۱

ابتدا عامل‌های هم‌پایه را ترکیب می‌کنیم: $2^3\times2^2=2^{3+2}=2^5$. سپس با استفاده از قانون ضرب عبارت‌های هم‌توان داریم $2^5\times3^5\times5^5=(2\times3\times5)^5=30^5$ (صفحهٔ ۹۱). بنابراین توان مشترک حفظ می‌شود و پایه‌ها در هم ضرب می‌شوند. پاسخ: گزینهٔ ۳

چون $0.6^2=0.36$ و $(-0.6)^2=0.36$، ریشه‌های دوم این عدد برابر $0.6$ و $-0.6$ هستند. شرط $x<0$ نشان می‌دهد $x=-0.6$. از سوی دیگر، نماد جذر ریشهٔ دوم مثبت را نشان می‌دهد، پس $y=\sqrt{0.36}=0.6$ (صفحه‌های ۹۳ و ۹۴). در نتیجه $x+y=-0.6+0.6=0$. پاسخ: گزینهٔ ۲

اگر طول ضلع مربع را $a$ بگیریم، داریم $a^2=2.56$. طول، مثبت است و چون $1.6^2=2.56$، نتیجه می‌شود $a=1.6$ (صفحه‌های ۹۳ و ۹۴). طول یال مکعب نیز همین مقدار است. حجم مکعب از رابطهٔ $V=a^3$ به دست می‌آید (صفحهٔ ۸۶)، پس $V=1.6\times1.6\times1.6=2.56\times1.6=4.096$. پاسخ: گزینهٔ ۱

روش مقایسهٔ مجذورها برای یافتن جذر تقریبی در صفحه‌های ۹۴ و ۹۵ مطرح شده است. با توجه به $44.89<45<45.5625$ و دو تساوی داده‌شده، داریم $6.7<\sqrt{45}<6.75$. عدد $6.75$ نقطهٔ میانی $6.7$ و $6.8$ است. پس جذر موردنظر به $6.7$ نزدیک‌تر از $6.8$ است. همچنین چون جذر از $6.7$ بزرگ‌تر است، فاصلهٔ آن از $6.6$ و $6.5$ بیشتر از فاصله‌اش از $6.7$ خواهد بود. پاسخ: گزینهٔ ۴

ابتدا $\sqrt{64}=8$ را محاسبه می‌کنیم (صفحه‌های ۹۳ و ۹۴). اگر $n$ زوج باشد، $(-1)^n=1$ و عبارت $2^n+8$ مثبت است؛ پس هیچ مقدار زوجی مناسب نیست (صفحه‌های ۸۸ و ۸۹). اگر $n$ فرد باشد، نامساوی به $-2^n+8<0$، یعنی $2^n>8$ تبدیل می‌شود. مقادیر فردِ بازه عبارت‌اند از $1،3،5،7$. بر اساس تعریف توان، توان‌های متناظر برابر $2،8،32،128$ هستند (صفحهٔ ۸۴). فقط برای $n=5$ و $n=7$ نامساوی برقرار است؛ برای $n=3$ عبارت صفر می‌شود و پذیرفته نیست. بنابراین تعداد مقادیر مناسب برابر $2$ است. پاسخ: گزینهٔ ۳

توان دوم هر عدد ناصفر مثبت است؛ بنابراین $x^2>0$ و در نتیجه $-x^2<0$. در مقابل، $(-x)^2$ مثبت و $x^0=1$ است. همچنین $x^3$ برای مقدارهای مثبتِ $x$ مثبت می‌شود؛ پس همواره منفی نیست. تفاوت جایگاه علامت منفی در عبارت‌های تواندار و ویژگی مجذور عدد ناصفر، مبنای این نتیجه است (صفحهٔ ۸۸–۸۹ و صفحهٔ ۹۵). پاسخ: گزینهٔ ۱

با توجه به نمایش عدد در مبنای ده داریم: $N=6\times1000+2\times10+5\times1=6025$. پس رقم صدگان صفر و رقم دهگان دو است. با جابه‌جایی این دو رقم، عدد $6205$ به دست می‌آید. بنابراین افزایش عدد برابر است با $6205-6025=180$. همچنین می‌توان مستقیماً نوشت: $2\times100-2\times10=180$ (صفحهٔ ۸۸–۸۹). پاسخ: گزینهٔ ۳

چون $49<50<64$، داریم $7<\sqrt{50}<8$ و بنابراین $-8<-\sqrt{50}<-7$. همچنین از $16<20<25$ نتیجه می‌شود $4<\sqrt{20}<5$. پس عددهای صحیحِ مجاز از $-7$ تا $4$ هستند. تعداد آن‌ها برابر است با $4-(-7)+1=12$. سخت بودن نامساوی باعث حذف این دو عدد نمی‌شود؛ زیرا هیچ‌یک برابر کران رادیکالی نیستند (صفحهٔ ۹۵). پاسخ: گزینهٔ ۴

مساحت مستطیل از ضرب طول در عرض به دست می‌آید. با استفاده از قانون ضرب توان‌های هم‌پایه داریم: $S=(3^2\times2^3)(3^4\times2)=3^{2+4}\times2^{3+1}=3^6\times2^4$ (صفحهٔ ۹۰–۹۱). از طرفی، $3^6\times2^4=(3^3\times2^2)(3^3\times2^2)$. طول ضلع مربع، ریشهٔ دوم مثبت مساحت آن است؛ پس طول ضلع برابر $3^3\times2^2$ واحد طول خواهد بود (صفحهٔ ۹۳–۹۴). پاسخ: گزینهٔ ۲