نمونه سوال فصل ۸ ریاضی هفتم با جواب

برای برابری دو بردار، باید راستا، اندازه و جهت آن‌ها یکسان باشد. یکسان بودن نقطهٔ آغاز جزو این شرط‌ها نیست؛ بنابراین می‌توان بردارهای برابر را در محل‌های مختلف رسم کرد. هم‌اندازه بودن به‌تنهایی، یا همراه با هم‌راستا بودن بدون توجه به جهت، کافی نیست. (صفحه‌های ۱۰۱ و ۱۰۲) پاسخ: گزینهٔ ۲

در نقطهٔ $P=\begin{bmatrix}0\\-2.5\end{bmatrix}$، طول صفر و عرض منفی است؛ پس این نقطه روی نیم‌محور منفی عرض‌ها قرار دارد. در نقطهٔ $Q=\begin{bmatrix}-2.5\\0\end{bmatrix}$، عرض صفر و طول منفی است؛ پس این نقطه روی نیم‌محور منفی طول‌هاست. نقطه‌های روی محورها درون هیچ‌یک از چهار ناحیه نیستند. (صفحهٔ ۱۰۴) پاسخ: گزینهٔ ۴

بردار انتقال از مقایسهٔ $A$ و $A'$ به دست می‌آید: $\vec{a}=\begin{bmatrix}1-(-2)\\1-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}$. بنابراین تصویر $B$ برابر است با $\begin{bmatrix}3\\-1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\-4\end{bmatrix}$؛ پس $m+4=6$ و $m=2$. همچنین تصویر $C$ برابر است با $\begin{bmatrix}-1\\5\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}$؛ پس $n=2$. (صفحه‌های ۱۰۷ و ۱۰۸) پاسخ: گزینهٔ ۱

هر دو نقطه با بردار یکسانی جابه‌جا شده‌اند. از انتقال $P$ به $P'$ داریم: $\vec{a}=\begin{bmatrix}-1-3\\5-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4\\3\end{bmatrix}$. چون $Q+\vec{a}=Q'$، مختصات نقطهٔ گم‌شده برابر است با $Q=\begin{bmatrix}0\\-1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-4\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\-4\end{bmatrix}$. (صفحه‌های ۱۰۷ و ۱۰۸) پاسخ: گزینهٔ ۳

در مسیر $A$ به $B$، سپس $C$ و سرانجام $D$، جابه‌جایی کل از جمع جابه‌جایی‌های پیاپی حاصل می‌شود. چون $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{CD}$ قرینه‌اند، جمع آن‌ها بردار صفر است. بنابراین $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BC}=\begin{bmatrix}4\\-3\end{bmatrix}$. ندانستن مختصات نقطه‌های میانی مانع تعیین جابه‌جایی کل نیست. (صفحه‌های ۱۰۲، ۱۰۸ و ۱۰۹) پاسخ: گزینهٔ ۲

از انتقال نقطهٔ $A$، بردار $\begin{bmatrix}1-p\\q+1-(-2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1-p\\q+3\end{bmatrix}$ به دست می‌آید. از انتقال نقطهٔ $B$ نیز بردار $\begin{bmatrix}p+2-3\\4-q\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p-1\\4-q\end{bmatrix}$ حاصل می‌شود. این دو بردار باید برابر باشند؛ پس $1-p=p-1$ و $q+3=4-q$. از رابطهٔ اول $p=1$ و از رابطهٔ دوم $2q=1$، یعنی $q=0.5$ به دست می‌آید. در نتیجه، بردار انتقال برابر $\begin{bmatrix}1-1\\0.5+3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3.5\end{bmatrix}$ است. (صفحه‌های ۱۰۷ و ۱۰۸) پاسخ: گزینهٔ ۳

اگر نقطه‌ای با مختصات $P$ ابتدا با $\vec{u}$ و سپس با $\vec{v}$ انتقال یابد، مختصات نهایی آن $P+\vec{u}+\vec{v}$ است. بازگشت به نقطهٔ اولیه مستلزم آن است که $\vec{u}+\vec{v}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$. پس اگر $\vec{u}=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}$ باشد، باید $\vec{v}=\begin{bmatrix}-a\\-b\end{bmatrix}$ باشد؛ یعنی دو بردار قرینه باشند. جابه‌جا کردن مؤلفه‌ها یا صفر شدن تنها یکی از آن‌ها، این بازگشت را برای هر بردار تضمین نمی‌کند. (صفحه‌های ۱۰۸ و ۱۰۹) پاسخ: گزینهٔ ۱

برای یک راستای مشخص، تنها دو جهت ممکن است (صفحهٔ ۹۸). اگر دو بردار نخست هم‌جهت باشند، حکم برقرار است. اگر جهت‌های مخالف داشته باشند، بردار سوم ناچار با یکی از آن‌ها هم‌جهت خواهد بود. همچنین، چون اندازهٔ بردارها مشخص نیست، نمی‌توان برابری هیچ دو برداری را قطعی دانست؛ برابری به هم‌اندازه بودن نیز نیاز دارد (صفحه‌های ۱۰۱ و ۱۰۲). پاسخ: گزینهٔ ۲

بردار $\overrightarrow{AB}$ از عدد $-4$ به عدد $2$ می‌رود؛ بنابراین اندازهٔ آن $2-(-4)=6$ واحد و جهت آن مثبت است (صفحهٔ ۱۰۰). بردار قرینهٔ آن باید اندازهٔ $6$ واحد و جهت منفی داشته باشد (صفحه‌های ۱۰۱ و ۱۰۲). پس برای بردار $\overrightarrow{CD}$ داریم: $-1-C=-6$ و در نتیجه $C=5$. پاسخ: گزینهٔ ۴

وقتی همهٔ پیکان‌ها با مقیاس یکسان رسم شده‌اند، می‌توان اندازهٔ نیروها را با طول پیکان‌ها مقایسه کرد (صفحهٔ ۹۸). مجموع طول پیکان‌های راست‌سو برابر $3+4=7$ سانتی‌متر است. اگر طول مجهول را $x$ بگیریم، مجموع طول پیکان‌های چپ‌سو $5+x$ است. پس از کنار گذاشتن بخش‌های هم‌اندازه و مخالف‌جهت، باید پیکانی به طول $1.5$ سانتی‌متر به چپ باقی بماند (صفحه‌های ۱۰۱ و ۱۰۲). بنابراین $(5+x)-7=1.5$ و از آن $x=3.5$ به دست می‌آید. پاسخ: گزینهٔ ۳

در هر انتقال، مختصات نقطهٔ آغاز با مؤلفه‌های بردار جمع می‌شود؛ در انتقال‌های پیاپی نیز همین قاعده در هر مرحله برقرار است (صفحه‌های ۱۰۷ و ۱۰۸). بنابراین $\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a\\3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-2\\b\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\2\end{bmatrix}$. با مقایسهٔ مؤلفه‌های افقی داریم $-3+a-2+4=5$، پس $a=6$. از مؤلفه‌های عمودی نیز $2+3+b-1=2$ و در نتیجه $b=-2$ به دست می‌آید. پس $a-b=6-(-2)=8$. نوشتن مختصات انتقال به‌صورت جبری نیز در صفحهٔ ۱۰۹ مطرح شده است. پاسخ: گزینهٔ ۲