سوالات ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

طبق تعریف بازهٔ باز، دو سر بازه عضو آن نیستند؛ بنابراین عدد صحیحِ $k$ باید شرط $\frac{3-n}{2}<k<\frac{n+3}{n}$ را داشته باشد (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳).

ابتدا کران راست را ساده می‌کنیم:
$\frac{n+3}{n}=1+\frac{3}{n}$.

گام اول: کنار گذاشتن مقادیر بزرگ‌ترِ $n$
برای هر $n\geq4$ داریم:
$\frac{3-n}{2}<0<1<1+\frac{3}{n}$.
پس هر دو عدد صحیحِ $0$ و $1$ داخل بازه هستند و بازه دست‌کم دو عدد صحیح دارد؛ بنابراین هیچ‌یک از این مقادیر مناسب نیست.

گام دوم: بررسی سه مقدار باقی‌مانده

• اگر $n=1$ باشد، بازه برابر است با $(1,4)$. اعداد صحیح داخل آن $2$ و $3$ هستند؛ پس این حالت پذیرفته نیست.

• اگر $n=2$ باشد، بازه برابر است با $(\frac{1}{2},\frac{5}{2})$. اعداد صحیح داخل آن $1$ و $2$ هستند؛ پس این حالت نیز پذیرفته نیست.

• اگر $n=3$ باشد، بازه برابر است با $(0,2)$. چون دو سر بازه حذف شده‌اند، تنها عدد صحیح داخل آن $1$ است؛ پس این حالت پذیرفته است.

در نتیجه، فقط یک مقدار طبیعی، یعنی $n=3$، شرط سؤال را دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۱

نکتهٔ نگارشی: با توجه به پاسخ تأییدشده، ممیز در گزینه‌ها با «/» نوشته شده است؛ بنابراین «۲/۴» در گزینهٔ سوم یعنی $2.4$، نه کسر $\frac{2}{4}$.

گام اول: ضریب جملهٔ درجهٔ دوم باید صفر باشد.
طبق روش تعیین علامت، باید ناحیه‌هایی را پیدا کنیم که عبارت در آن‌ها منفی است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۹۱). اگر ضریب $x^2$ ناصفر باشد، عبارت درجهٔ دوم در دو انتهای محور هم‌علامت است؛ بنابراین نمی‌تواند دقیقاً برای $x>a$ منفی و برای همهٔ $x<a$ نامنفی باشد. پس:
$2a+3=0\quad\Rightarrow\quad a=-\frac{3}{2}$

گام دوم: مقدار پارامتر طبیعی را تعیین می‌کنیم.
اکنون نامعادله به صورت زیر درمی‌آید:
$(4b-5)x+4c+1<0$
برای اینکه جواب این نامعادله نیم‌خطی رو به راست باشد، ضریب $x$ باید منفی باشد؛ زیرا تقسیم بر عدد منفی جهت نامساوی را عوض می‌کند (ریاضی ۱، صفحه‌های ۸۹–۹۰):
$4b-5<0\quad\Rightarrow\quad b<\frac{5}{4}$
با توجه به طبیعی‌بودن $b$، داریم:
$b=1$
پس نامعادله برابر است با:
$-x+4c+1<0\quad\Rightarrow\quad x>4c+1$

گام سوم: مرز بازه‌ها را برابر قرار می‌دهیم.
مجموعهٔ جواب به‌دست‌آمده $(4c+1,+\infty)$ است و طبق صورت سؤال باید با $(a,+\infty)$ برابر باشد. بنابراین:
$4c+1=a=-\frac{3}{2}$
$4c=-\frac{5}{2}\quad\Rightarrow\quad c=-\frac{5}{8}$
بازبودن سر بازه نیز با اکیدبودن نامعادله سازگار است (ریاضی ۱، صفحه‌های ۹۲–۹۳).

گام چهارم: نسبت خواسته‌شده را محاسبه می‌کنیم.
$\frac{a}{c}=\frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{5}{8}}=\frac{3}{2}\times\frac{8}{5}=\frac{12}{5}=2.4$

پاسخ: گزینهٔ ۳

نکتهٔ مهم: صورت سؤالِ نوشته‌شده با کلید اعلام‌شده سازگار نیست. ابتدا تبدیل‌ها را دقیق انجام می‌دهیم تا این ناسازگاری روشن شود.

گام اول ـ انتقال به چپ: تابع اولیه را $h(x)=\sqrt{2x}-3$ می‌نامیم. برای انتقال یک واحد در جهت منفی محور $x$ها، باید $x$ را با $x+1$ جایگزین کنیم؛ بنابراین:
$h_1(x)=h(x+1)=\sqrt{2(x+1)}-3$.
دقت کنید که حاصل جایگزینی در عبارت زیر رادیکال، $2(x+1)=2x+2$ است، نه $2x+1$.

گام دوم ـ قرینه‌سازی نسبت به محور $x$ها: در این تبدیل، طول هر نقطه ثابت می‌ماند و عرض آن در $-1$ ضرب می‌شود؛ پس باید علامت کل ضابطه تغییر کند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۵–۱۶):
$h_2(x)=-h_1(x)=-\sqrt{2x+2}+3$.

گام سوم ـ انتقال به بالا: با انتقال پنج واحد در جهت مثبت محور $y$ها، به خروجی تابع $5$ اضافه می‌کنیم:
$g(x)=h_2(x)+5=8-\sqrt{2x+2}$.
دامنهٔ این تابع از شرط $2x+2\geq 0$، برابر $x\geq -1$ است.

گام چهارم ـ محاسبهٔ طول نقطهٔ برخورد: در محل برخورد با تابع ثابت، عرض دو نمودار برابر است؛ بنابراین:
$8-\sqrt{2x+2}=\frac{7}{2}$
$\sqrt{2x+2}=8-\frac{7}{2}=\frac{9}{2}$.
چون دو طرف نامنفی‌اند، با توان دوم گرفتن داریم:
$2x+2=\frac{81}{4}\quad\Longrightarrow\quad 2x=\frac{73}{4}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{73}{8}$.
این مقدار در دامنه قرار دارد و با جای‌گذاری نیز تساوی برقرار می‌شود، اما در گزینه‌ها نیست.

بررسی کلید: برای مقدار اعلام‌شده در گزینهٔ سوم داریم:
$g\left(\frac{1}{8}\right)=8-\sqrt{\frac{1}{4}+2}=8-\frac{3}{2}=\frac{13}{2}$.
پس گزینهٔ سوم با تابع ثابتِ نوشته‌شده در سؤال برخورد ندارد. لازم است صورت سؤال یا کلید بازبینی شود؛ از داده‌های فعلی نمی‌توان گزینهٔ سوم را نتیجه گرفت. اگر تابع ثابت به‌جای $f(x)=\frac{7}{2}$، برابر $f(x)=\frac{13}{2}$ باشد، گزینهٔ اعلام‌شده درست خواهد بود و فقط در این صورت:
پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. تعیین نقطهٔ مینیمم

در تابع $y=x^2-mx+2-m$، ضریب جملهٔ درجهٔ دوم $a=1>0$ است؛ بنابراین سهمی رو به بالا و نقطهٔ مینیمم آن همان رأس سهمی است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۷۸–۷۹).

طبق رابطهٔ مختصات رأس سهمی، داریم (ریاضی ۱، صفحهٔ ۸۰–۸۱):
$x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{-m}{2}=\frac{m}{2}$.

با جایگذاری طول رأس در تابع، عرض آن به‌دست می‌آید:
$y_v=\left(\frac{m}{2}\right)^2-m\left(\frac{m}{2}\right)+2-m=2-m-\frac{m^2}{4}$.

۲. اعمال شرط ناحیهٔ اول

نقطه‌ای در ناحیهٔ اول است که هر دو مختصهٔ آن مثبت باشند؛ نقاط روی محورها جزو این ناحیه نیستند. پس:
$x_v>0\Rightarrow \frac{m}{2}>0\Rightarrow m>0$،
و
$y_v>0\Rightarrow 2-m-\frac{m^2}{4}>0\Rightarrow m^2+4m-8<0$.

۳. حل نامعادله و شمارش مقادیر صحیح

ریشه‌های عبارت درجهٔ دوم عبارت‌اند از:
$m=\frac{-4\pm\sqrt{16+32}}{2}=-2\pm2\sqrt{3}$.

چون ضریب جملهٔ درجهٔ دوم مثبت است، عبارت بین دو ریشه منفی است؛ بنابراین:
$-2-2\sqrt{3}<m<-2+2\sqrt{3}$.

با در نظر گرفتن شرط $m>0$، نتیجه می‌شود:
$0<m<-2+2\sqrt{3}$.

از آنجا که $-2+2\sqrt{3}\approx1.464$، تنها مقدار صحیح مجاز $m=1$ است. برای بررسی نیز در این حالت رأس برابر $\left(\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right)$ است که هر دو مختصهٔ آن مثبت‌اند.

پس فقط یک مقدار صحیح برای پارامتر وجود دارد.

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. طول نقاط برخورد نمودار با محور $x$ها، ریشه‌های تابع هستند؛ بنابراین طبق دادهٔ سؤال داریم:
$g(1)=0,\qquad g(2\sqrt{2})=0$.

۲. طبق تعریف ترکیب توابع، $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ و ورودی تابع درونی باید در دامنهٔ آن باشد (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۳–۱۴). در اینجا $f(x)=x\sqrt{x}$ است؛ پس $x\geq 0$. برای صفر شدن تابع مرکب، خروجی $f$ باید یکی از ریشه‌های $g$ باشد:
$g(f(x))=0\quad\Longrightarrow\quad f(x)=1\ \text{یا}\ f(x)=2\sqrt{2}$.

۳. معادلهٔ اول را حل می‌کنیم:
$x\sqrt{x}=1\quad\Longrightarrow\quad x^{3/2}=1\quad\Longrightarrow\quad x=1$.

برای معادلهٔ دوم نیز داریم:
$x\sqrt{x}=2\sqrt{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{3/2}=2^{3/2}\quad\Longrightarrow\quad x=2$.
هر دو جواب نامنفی‌اند و خروجی تابع $f$ در آن‌ها، ورودیِ مجاز تابع $g$ است؛ پس هر دو در دامنهٔ تابع مرکب قرار دارند.

۴. بنابراین طول نقاط برخورد نمودار تابع مرکب با محور $x$ها برابر $1$ و $2$ است و اختلاف آن‌ها می‌شود:
$2-1=1$.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول ـ مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها را پیدا می‌کنیم. طبق رابطه‌های کتاب، برای معادلهٔ $ax^2+bx+c=0$ داریم $\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$ و $\alpha\beta=\frac{c}{a}$ (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۲–۱۳). بنابراین در معادلهٔ داده‌شده:
$\alpha+\beta=-1$، $\alpha\beta=-1-m^2$.

گام دوم ـ مجموع مربع‌ها را با استفاده از اتحاد مربع مجموع می‌نویسیم:
$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$.
با جای‌گذاری داریم:
$\alpha^2+\beta^2=(-1)^2-2(-1-m^2)=3+2m^2$.

گام سوم ـ کمترین مقدار را تعیین می‌کنیم. چون برای هر عدد حقیقی $m$، داریم $m^2\geq0$، پس:
$3+2m^2\geq3$.
این تساوی در $m=0$ برقرار می‌شود. این انتخاب مجاز است؛ زیرا در این حالت معادلهٔ $x^2+x-1=0$ دارای $\Delta=5>0$ و در نتیجه دو ریشهٔ حقیقی است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۱–۱۲).

پس کمترین مقدار ممکن برای مجموع مربع ریشه‌ها برابر $3$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

طبق تعریف یکنوایی، تابع نزولی با افزایش ورودی افزایش نمی‌یابد؛ بنابراین شاخهٔ ثابت نیز مجاز است. همچنین باید نزولی بودن تابع را هم درون هر شاخه و هم هنگام عبور از مرز دو شاخه بررسی کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۷–۹).

گام اول: بررسی شاخهٔ اول
برای $x\leq-2$ داریم $x+2\leq0$؛ پس:
$|x+2|+1=-(x+2)+1=-x-1$.
این شاخه با شیب $-1$ نزولی است و در نقطهٔ مرزی داریم:
$f(-2)=1$.
بنابراین مقادیر شاخهٔ اول همگی بزرگ‌تر یا مساوی $1$ هستند.

گام دوم: بررسی شاخهٔ دوم
شاخهٔ دوم با ضابطهٔ $5m-mx$ خطی و شیب آن $-m$ است. برای نزولی بودن آن باید:
$-m\leq0\quad\Longrightarrow\quad m\geq0$.
تساوی نیز مجاز است، چون سؤال تابع «نزولی» خواسته است، نه «اکیداً نزولی».

گام سوم: بررسی اتصال دو شاخه
برای نزولی بودن تابع روی $\mathbb{R}$، مقادیر شاخهٔ دوم نباید از $f(-2)=1$ بیشتر شوند. مقدار مرزی ضابطهٔ شاخهٔ دوم در $x=-2$ برابر است با:
$5m-m(-2)=7m$.
پس لازم است:
$7m\leq1\quad\Longrightarrow\quad m\leq\frac{1}{7}$.
اگر $7m>1$ باشد، برای ورودی‌های به‌اندازهٔ کافی نزدیک به $-2$ از سمت راست، خروجی از $1$ بیشتر می‌شود و تابع نزولی نخواهد بود.

این شرط کافی نیز هست؛ زیرا برای $m\geq0$ و $x>-2$ داریم:
$5m-mx=7m-m(x+2)\leq7m\leq1$.
پس تمام مقادیر شاخهٔ دوم از تمام مقادیر شاخهٔ اول کوچک‌تر یا مساوی‌اند.

گام چهارم: تعیین بازه و مجموع دو سر آن
با ترکیب شرط‌ها:
$0\leq m\leq\frac{1}{7}$.
در نتیجه:
$[a,b]=\left[0,\frac{1}{7}\right]\quad\Longrightarrow\quad a+b=\frac{1}{7}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

در داده‌های سؤال ناسازگاری وجود دارد: با چندجمله‌ای نوشته‌شده، گزینهٔ تأییدشده درست نیست.

گام اول: طبق قضیهٔ باقی‌مانده، باقی‌ماندهٔ تقسیم چندجمله‌ای بر $x-r$ برابر $f(r)$ است؛ پس برای بخش‌پذیری باید این مقدار صفر باشد (ریاضی ۳، صفحه‌های ۵۰–۵۱).

چون $x+2=x-(-2)$، شرط بخش‌پذیری چنین است:
$f(-2)=0$.

گام دوم: در چندجمله‌ای داده‌شده جای‌گذاری می‌کنیم:
$f(-2)=(-2)^5-3(-2)^3+a(-2)+5$.

توان‌های فردِ عدد منفی، منفی‌اند؛ بنابراین:
$f(-2)=-32+24-2a+5=-3-2a$.

گام سوم: باقی‌مانده را برابر صفر قرار می‌دهیم:
$-3-2a=0\Rightarrow -2a=3\Rightarrow a=-\frac{3}{2}$.

این مقدار در گزینه‌ها نیست. همچنین با مقدار گزینهٔ اول، یعنی $a=-\frac{1}{5}$، داریم:
$f(-2)=-3+\frac{2}{5}=-\frac{13}{5}\ne0$.
پس گزینهٔ اول نیز شرط بخش‌پذیری را تأمین نمی‌کند و لازم است صورت سؤال یا گزینه‌ها اصلاح شود.

پاسخ: هیچ‌یک از گزینه‌ها؛ مقدار درست برای صورت سؤال فعلی $a=-\frac{3}{2}$ است.

گام اول: طول ضلع‌های کامل را پیدا می‌کنیم. با توجه به ترتیب نقاط روی دو ضلع داریم:
$AD=AB+BD=5+2=7$
$AC=AE+EC=4+3=7$

گام دوم: مساحت‌ها را برحسب سینوس زاویهٔ مشترک می‌نویسیم. اگر دو ضلع مثلث $a$ و $b$ و زاویهٔ بین آن‌ها $A$ باشد، ارتفاع وارد بر ضلع $a$ برابر $b\sin A$ است؛ بنابراین:
$S=\frac{1}{2}ab\sin A$
این روش از تعریف سینوس و رابطهٔ قاعده و ارتفاع به دست می‌آید (ریاضی ۱، صفحهٔ ۳۱ و صفحات ۳۲–۳۳).

پس برای دو مثلث موردنظر:
$S_{ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times AC\times\sin A=\frac{35}{2}\sin A$
$S_{ADE}=\frac{1}{2}\times AD\times AE\times\sin A=14\sin A$

گام سوم: اختلاف مساحت‌ها را برابر مقدار داده‌شده قرار می‌دهیم. چون ضریب سینوس در مساحت مثلث $ABC$ بزرگ‌تر است، داریم:
$S_{ABC}-S_{ADE}=\left(\frac{35}{2}-14\right)\sin A=\frac{7}{2}\sin A$
از طرفی، اختلاف مساحت‌ها برابر $1.75=\frac{7}{4}$ است؛ پس:
$\frac{7}{2}\sin A=\frac{7}{4}\quad\Rightarrow\quad\sin A=\frac{1}{2}$

گام چهارم: با توجه به حاده بودن زاویهٔ $A$ در شکل، از $\sin A=\frac{1}{2}$ نتیجه می‌گیریم $A=30^\circ$. مطابق جدول نسبت‌های مثلثاتی (ریاضی ۱، صفحات ۳۲–۳۳):
$\tan A=\tan30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

پاسخ: گزینهٔ ۲

برای محاسبهٔ عبارت، لازم نیست سینوس و کسینوسِ زاویهٔ داده‌شده را جداگانه به دست آوریم.

گام اول: بازنویسی مجموع و تفاضل سینوس و کسینوس
با استفاده از اتحادهای سینوسِ مجموع و تفاضل و مقدارهای $\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$، داریم:
$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$
و
$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$.
مقدار نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های خاص در جدول کتاب مرور شده است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۷۸–۷۹).

گام دوم: جای‌گذاری زاویه و ساده‌سازی
با قرار دادن $x=\frac{11\pi}{12}$ و حذف عامل مشترکِ $\sqrt{2}$، عبارت برابر است با:
$\frac{\sin\left(\frac{11\pi}{12}+\frac{\pi}{4}\right)}{\sin\left(\frac{11\pi}{12}-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\sin\frac{7\pi}{6}}{\sin\frac{2\pi}{3}}$.

گام سوم: محاسبهٔ نسبت‌های مثلثاتی
زاویهٔ $\frac{7\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}$ در ربع سوم است؛ بنابراین:
$\sin\frac{7\pi}{6}=-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}$.
همچنین، با استفاده از رابطهٔ سینوسِ زاویه‌های مکمل که در کتاب به کار رفته است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۸۳–۸۴):
$\sin\frac{2\pi}{3}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
پس حاصل عبارت برابر است با:
$\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

ابتدا زاویهٔ سمت راست را ساده می‌کنیم و با استفاده از اتحادهای مثلثاتی داریم:
$\sin\left(\frac{3\pi-2x}{2}\right)=\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x=\cos(\pi-x)$.
پس معادله به صورت زیر درمی‌آید:
$\cos 2x=\cos(\pi-x)$.

طبق قاعدهٔ جواب کلی برابری کسینوس‌ها، اگر $\cos A=\cos B$ باشد، آنگاه $A=2k\pi\pm B$ که $k\in\mathbb{Z}$ است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۴۶). بنابراین باید دو حالت را بررسی کنیم:

حالت اول:
$2x=2k\pi+(\pi-x)$
$\Rightarrow 3x=2k\pi+\pi$
$\Rightarrow x=\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{3}$.

حالت دوم: با استفاده از یک پارامتر صحیح مستقل، یعنی $m\in\mathbb{Z}$، داریم:
$2x=2m\pi-(\pi-x)$
$\Rightarrow x=2m\pi-\pi$.

اکنون باید اجتماع این دو خانواده را بنویسیم. خانوادهٔ دوم در خانوادهٔ اول قرار دارد؛ زیرا با انتخاب $k=3m-2$ در خانوادهٔ اول به دست می‌آید:
$\frac{2(3m-2)\pi}{3}+\frac{\pi}{3}=2m\pi-\pi$.

پس خانوادهٔ اول به‌تنهایی همهٔ جواب‌های معادله را پوشش می‌دهد و جواب کلی برابر است با:
$\boxed{x=\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}}$.

پاسخ: گزینهٔ ۳

ابتدا پایهٔ سمت راست را به صورت توانی از $2$ می‌نویسیم. منظور از $0/25$ در صورت سؤال، عدد اعشاری $0.25$ است:
$0.25=\frac14=2^{-2}$
پس معادله به شکل زیر درمی‌آید:
$2^{2|x|}=2^{-2(x^2-x)}$
طبق خاصیت یک‌به‌یک بودن تابع نمایی، وقتی پایه‌ها یکسان، مثبت و مخالف یک باشند، توان‌ها برابرند (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۰۳–۱۰۴). بنابراین:
$2|x|=-2(x^2-x)\quad\Longrightarrow\quad x^2-x+|x|=0$
اکنون قدرمطلق را در دو حالت بررسی می‌کنیم:

حالت اول: $x\geq0$
در این حالت $|x|=x$، پس:
$x^2-x+x=0\quad\Longrightarrow\quad x^2=0\quad\Longrightarrow\quad x=0$
این ریشه شرط این حالت را دارد و معتبر است.

حالت دوم: $x<0$
در این حالت $|x|=-x$، پس:
$x^2-x-x=0\quad\Longrightarrow\quad x(x-2)=0$
ریشه‌های این معادله $x=0$ و $x=2$ هستند؛ اما هیچ‌کدام شرط $x<0$ را ندارند. بنابراین از این حالت جوابی به دست نمی‌آید.

در نتیجه، تنها جواب معادله $x=0$ است. با جای‌گذاری آن نیز هر دو طرف معادلهٔ اصلی برابر $1$ می‌شوند؛ پس معادله دقیقاً یک جواب دارد.
پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. مجموع چهار داده را پیدا می‌کنیم.
طبق تعریف میانگین، مجموع داده‌ها برابر حاصل‌ضرب میانگین در تعداد آن‌هاست (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۵۳–۱۵۴). بنابراین:
$a+b+c+d=4\times3=12$
با افزودن عدد $5$، میانگین جدید برابر است با:
$\bar{x}_{\text{جدید}}=\frac{12+5}{5}=\frac{17}{5}$

۲. مجموع مجذور چهار داده را محاسبه می‌کنیم.
واریانس، میانگین مجذور فاصلهٔ داده‌ها از میانگین است (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۵۸–۱۵۹). با باز کردن مربع‌ها در این تعریف و استفاده از $\sum x_i=N\bar{x}$، داریم:
$\sigma^2=\frac{\sum x_i^2}{N}-\bar{x}^{\,2}$
پس برای چهار دادهٔ اولیه:
$1.5=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}-3^2$
در نتیجه:
$a^2+b^2+c^2+d^2=4(1.5+9)=42$

۳. واریانس مجموعهٔ جدید را به دست می‌آوریم.
پس از افزودن عدد $5$، مجموع مجذور داده‌ها برابر می‌شود با:
$42+5^2=67$
اکنون با تعداد و میانگین جدید داریم:
$\sigma_{\text{جدید}}^2=\frac{67}{5}-\left(\frac{17}{5}\right)^2=\frac{335-289}{25}=\frac{46}{25}=1.84$

نکته: افزودن یک داده به مجموعه با افزودن یک مقدار ثابت به تک‌تک داده‌ها متفاوت است؛ در اینجا هم تعداد داده‌ها و هم میانگین تغییر می‌کند.

پاسخ: گزینهٔ ۴

برای وجود ریشهٔ دوم در مجموعهٔ اعداد حقیقی، عبارت زیر رادیکال باید تعریف‌شده و نامنفی باشد؛ عدد منفی ریشهٔ دوم حقیقی ندارد (ریاضی ۱، صفحهٔ ۷۴). بنابراین باید دو حالت را بررسی کنیم: منفی بودن کسر و تعریف‌نشده بودن آن.

گام اول: یافتن نقاط مهم
صورت و مخرج را برابر صفر قرار می‌دهیم:
$1-a=0\Rightarrow a=1$
$9-3a=0\Rightarrow a=3$
مطابق روش تعیین علامت کسر، این نقاط مرز بازه‌های بررسی علامت‌اند و مقدار صفرکنندهٔ مخرج از دامنه حذف می‌شود (ریاضی ۱، صفحهٔ ۹۱).

گام دوم: تعیین علامت کسر

• اگر $a<1$ باشد، صورت و مخرج هر دو مثبت‌اند؛ پس کسر مثبت است.
• اگر $a=1$ باشد، کسر صفر است و ریشهٔ دوم آن وجود دارد.
• اگر $1<a<3$ باشد، صورت منفی و مخرج مثبت است؛ پس کسر منفی است و ریشهٔ دوم حقیقی ندارد.
• اگر $a=3$ باشد، مخرج صفر است و عبارت تعریف نمی‌شود؛ بنابراین ریشهٔ دوم آن نیز تعریف‌شده نیست.
• اگر $a>3$ باشد، صورت و مخرج هر دو منفی‌اند؛ پس کسر مثبت است و ریشهٔ دوم دارد.

گام سوم: شمارش اعداد طبیعی
تنها عدد طبیعی در بازهٔ $1<a<3$، مقدار $a=2$ است. مقدار $a=3$ نیز به‌دلیل صفر شدن مخرج باید شمرده شود. پس مقادیر موردنظر عبارت‌اند از:
$\{2,3\}$
در نتیجه، تعداد آن‌ها برابر با $2$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۱

گام اول: تشخیص نماد. در این سؤال، $[\,\cdot\,]$ نماد جزء صحیح است، نه صرفاً علامت گروه‌بندی. جزء صحیحِ یک عدد، بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساوی آن است. برای بررسی حد این تابع باید رفتار ورودی آن را در دو طرف نقطه در نظر بگیریم؛ مشابه تمرین‌های تابع جزء صحیح در کتاب (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۳۳–۱۳۴).

گام دوم: حد عبارت داخل جزء صحیح را حساب می‌کنیم. حد چندجمله‌ای در هر نقطه برابر مقدار آن در همان نقطه است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۳۰–۱۳۱). بنابراین:
$\lim_{x\to-\frac12}(8x^3-x)=8\left(-\frac12\right)^3-\left(-\frac12\right)=-1+\frac12=-\frac12$.

گام سوم: چون $-1<-\frac12<0$، برای همهٔ $x$های به‌اندازهٔ کافی نزدیک به $-\frac12$، عبارت $8x^3-x$ نیز میان $-1$ و $0$ باقی می‌ماند. در نتیجه، در هر دو طرف نقطه داریم:
$[8x^3-x]=-1$.
پس حد چپ و راست برابرند و:
$\lim_{x\to-\frac12}[8x^3-x]=-1$.

توجه کنید که جزء صحیحِ عدد منفی با حذف بخش اعشاری آن به دست نمی‌آید؛ برای نمونه $[-\frac12]=-1$، نه $0$.

پاسخ: گزینهٔ ۲

برای آنکه حد دوسویه برابر $+\infty$ باشد، هر دو حد یک‌طرفه باید برابر $+\infty$ باشند. مطابق روش بررسی حدهای بی‌نهایت، باید علامت صورت و مخرج را در هر سمت تعیین کنیم (ریاضی ۳، صفحات ۵۶–۵۷).

گام اول: بررسی سمت راست
اگر $x$ کمی بزرگ‌تر از $-2\pi$ باشد، داریم:
$-2<\frac{x}{\pi}<-1\quad\Longrightarrow\quad\left[\frac{x}{\pi}\right]=-2$.
همچنین با نوشتن $x=-2\pi+h$، برای $h$ مثبت و نزدیک به صفر، $\sin x=\sin h>0$ است؛ پس مخرج از سمت مثبت به صفر میل می‌کند. بنابراین برای مثبتِ بی‌نهایت شدن کسر باید:
$4-2k>0\quad\Longrightarrow\quad k<2$.
اگر صورت صفر باشد، کسر در آن سمت صفر می‌شود، نه بی‌نهایت؛ پس نامساوی اکید است.

گام دوم: بررسی سمت چپ
اگر $x$ کمی کوچک‌تر از $-2\pi$ باشد، داریم:
$-3<\frac{x}{\pi}<-2\quad\Longrightarrow\quad\left[\frac{x}{\pi}\right]=-3$.
در این سمت، $\sin x$ منفی است و به صفر میل می‌کند. برای آنکه کسر به $+\infty$ میل کند، صورت نیز باید منفی باشد:
$4-3k<0\quad\Longrightarrow\quad k>\frac{4}{3}$.

گام سوم: اشتراک شرط‌ها و محاسبهٔ جزء صحیح
از دو شرط به دست می‌آید:
$\frac{4}{3}<k<2\quad\Longrightarrow\quad -2<-k<-\frac{4}{3}$.
جزء صحیح، بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساوی عدد است؛ بنابراین در تمام این بازه:
$[-k]=-2$.

پاسخ: گزینهٔ ۴

برای پیوستگی روی $\mathbb{R}$، تابع باید در تمام اعداد حقیقی تعریف شده و در تک‌تک آن‌ها پیوسته باشد؛ پس بررسی نقطهٔ اتصال به‌تنهایی کافی نیست (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۴۰–۱۴۱).

گام اول: بررسی تعریف‌شدن تابع روی تمام اعداد حقیقی

در شاخهٔ اول، مخرج در $x=-a$ صفر می‌شود. این نقطه نباید در ناحیهٔ استفاده از این شاخه، یعنی $x\ge a$، باشد. بنابراین:
$-a<a\ \Longrightarrow\ a>0$.

در شاخهٔ دوم، مخرج در $x=1$ صفر می‌شود. این نقطه نیز نباید در ناحیهٔ $x<a$ قرار بگیرد؛ پس:
$1\ge a\ \Longrightarrow\ a\le1$.

در نتیجه، شرط لازم برای تعریف‌شدن تابع روی تمام اعداد حقیقی عبارت است از:
$0<a\le1$.

گام دوم: بررسی پیوستگی در نقطهٔ اتصال

در محدودهٔ بالا، هر شاخه در ناحیهٔ خودش مخرج ناصفر دارد و پیوسته است؛ بنابراین فقط باید اتصال دو شاخه را در $x=a$ بررسی کنیم. طبق شرط پیوستگی، حد چپ و حد راست باید با مقدار تابع برابر باشند (ریاضی ۲، صفحهٔ ۱۳۹–۱۴۰). از شاخهٔ اول داریم:
$f(a)=\lim_{x\to a^+}f(x)=\frac{3}{2a}$.

اکنون دو حالت داریم:

حالت اول: $0<a<1$

چون $a\ne1$، حد چپ برابر است با:
$\lim_{x\to a^-}f(x)=\frac{a-1}{a-1}=1$.

پس شرط پیوستگی می‌دهد:
$\frac{3}{2a}=1\ \Longrightarrow\ a=\frac{3}{2}$.

این مقدار در بازهٔ $0<a<1$ نیست؛ بنابراین در این حالت پاسخی نداریم.

حالت دوم: $a=1$

برای $x<1$، شاخهٔ دوم برابر $\frac{0}{x-1}=0$ است؛ در نتیجه:
$\lim_{x\to1^-}f(x)=0$.

اما مقدار تابع در نقطهٔ اتصال برابر است با:
$f(1)=\frac{3}{2}$.

پس حد چپ با مقدار تابع برابر نیست و این حالت نیز پیوسته نیست.

بنابراین هیچ مقداری از $a$ وجود ندارد که تابع را روی تمام $\mathbb{R}$ پیوسته کند.

پاسخ: گزینهٔ ۱

آهنگ متوسط تغییر برابر نسبت تغییر مقدار تابع به طول بازه است و آهنگ لحظه‌ای تغییر در هر نقطه، مقدار مشتق در آن نقطه است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۹۵).

گام اول: محاسبهٔ آهنگ متوسط تغییر

مقادیر تابع در دو سر بازه عبارت‌اند از:
$f(1)=1-a,\qquad f(3)=1-\frac{a}{3}$

پس آهنگ متوسط تغییر در بازهٔ $[1,3]$ برابر است با:
$\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{(1-\frac{a}{3})-(1-a)}{2}=\frac{\frac{2a}{3}}{2}=\frac{a}{3}$

گام دوم: محاسبهٔ آهنگ لحظه‌ای تغییر

با استفاده از مشتق تابع معکوس و قواعد مشتق‌گیری (ریاضی ۳، صفحه‌های ۸۶–۸۷)، داریم:
$f(x)=1-ax^{-1}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=ax^{-2}=\frac{a}{x^2}$

گام سوم: برابر قرار دادن دو آهنگ تغییر

اگر طول نقطهٔ موردنظر را $c$ بنامیم، باید داشته باشیم:
$f'(c)=\frac{a}{3}\quad\Rightarrow\quad\frac{a}{c^2}=\frac{a}{3}$

چون $a\ne0$ است، دو طرف را بر $a$ تقسیم می‌کنیم:
$\frac{1}{c^2}=\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad c^2=3\quad\Rightarrow\quad c=\pm\sqrt{3}$

از میان این دو مقدار، $\sqrt{3}$ در بازهٔ $[1,3]$ قرار دارد و در گزینه‌ها نیز آمده است. بنابراین آهنگ لحظه‌ای در این نقطه با آهنگ متوسط بازه برابر است.

پاسخ: گزینهٔ ۲

گام اول: شرط‌های تماس با محور افقی را بنویسیم.
مشتق تابع در یک نقطه برابر شیب خط مماس در آن نقطه است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۸۲–۸۳). چون خط مماس همان محور $x$هاست، شیب آن صفر است. از طرف دیگر، نقطهٔ تماس روی محور افقی قرار دارد، پس عرض آن نیز صفر است. بنابراین:
$f'(2)=0,\qquad f(2)=0$

گام دوم: مقدار $a$ را به دست آوریم.
با مشتق‌گیری از تابع داریم:
$f(x)=x^3+ax-b\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=3x^2+a$
پس:
$f'(2)=3(2)^2+a=12+a=0\quad\Longrightarrow\quad a=-12$

گام سوم: مقدار $b$ را حساب کنیم.
از شرط قرارداشتن نقطهٔ تماس روی محور افقی استفاده می‌کنیم:
$f(2)=2^3+2a-b=0$
با جای‌گذاری مقدار $a$:
$8+2(-12)-b=0\quad\Longrightarrow\quad -16-b=0\quad\Longrightarrow\quad b=-16$

گام چهارم: عبارت خواسته‌شده را محاسبه کنیم.
$a-b=-12-(-16)=-12+16=-4$

پاسخ: گزینهٔ ۱

۱. تعیین مختصات نقطهٔ برخورد
روی محور عرض‌ها، طول نقطه صفر است؛ بنابراین:
$x=0\Rightarrow y=\sqrt{0+2}=\sqrt{2}$
پس نقطهٔ موردنظر $A(0,\sqrt{2})$ است.

۲. بررسی دو بخش نمودار
با استفاده از تعریف قدرمطلق داریم:
$y=x+|x|=\begin{cases}2x&x\geq0\\0&x<0\end{cases}$
پس نمودار شامل نیم‌خطی از خط $y=2x$ در سمت راست مبدأ و نیم‌محور افقیِ سمت چپ مبدأ است.

۳. فاصله تا بخش افقی
برای هر نقطهٔ $P(x,0)$ با $x\leq0$، طبق فرمول فاصلهٔ دو نقطه داریم (ریاضی ۲، صفحهٔ ۴–۵):
$AP=\sqrt{(x-0)^2+(0-\sqrt{2})^2}=\sqrt{x^2+2}\geq\sqrt{2}$
بنابراین کمترین فاصله تا این بخش، در مبدأ و برابر $\sqrt{2}$ است.

۴. فاصله تا بخش مایل
فاصلهٔ نقطهٔ $A(x_0,y_0)$ از خط $ax+by+c=0$ از رابطهٔ زیر به دست می‌آید (ریاضی ۲، صفحهٔ ۸):
$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
برای خط $2x-y=0$ داریم:
$d=\frac{|2(0)-\sqrt{2}|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$
باید مطمئن شویم پای عمود روی نیم‌خطِ موردنظر قرار دارد. شیب خط مایل $2$ است؛ پس معادلهٔ عمود گذرنده از نقطهٔ داده‌شده چنین است:
$y=-\frac{1}{2}x+\sqrt{2}$
از تقاطع آن با خط $y=2x$ به دست می‌آید:
$2x=-\frac{1}{2}x+\sqrt{2}\Rightarrow x=\frac{2\sqrt{2}}{5}>0$
پس پای عمود روی همان نیم‌خط قرار دارد و فاصلهٔ محاسبه‌شده معتبر است.

۵. مقایسهٔ دو فاصله
چون $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}<\sqrt{2}$، کمترین فاصلهٔ نقطه تا کل نمودار برابر است با:
$d_{\min}=\frac{\sqrt{10}}{5}=0.2\sqrt{10}$
پاسخ: گزینهٔ ۳

۱. شرط سؤال را به زبان جایگاه‌ها می‌نویسیم:
$\text{رقم صدگان}>\text{رقم دهگان}>\text{رقم یکان}$
پس هر سه رقم باید متمایز باشند.

۲. هر سه رقم متمایزی که انتخاب کنیم، دقیقاً یک چینش نزولی دارند. برای مثال، از انتخاب ارقام $2$، $5$ و $8$ فقط عدد $852$ شرط سؤال را دارد. بنابراین به‌جای شمارش جایگشت‌ها، باید تعداد انتخاب‌های سه‌عضوی را بشماریم؛ این همان تفاوت انتخاب و ترتیب در فعالیت درس ترکیب است (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۳۳).

۳. وجود صفر هیچ انتخابی را نامعتبر نمی‌کند؛ اگر صفر انتخاب شده باشد، چون کوچک‌ترین رقم است، در یکان قرار می‌گیرد، نه صدگان. پس ممنوعیت صفر در صدگان، که در مثال عددهای سه‌رقمی کتاب مطرح شده، خودبه‌خود رعایت می‌شود (ریاضی ۱، صفحهٔ ۱۲۳).

۴. در نتیجه، از هفت رقم داده‌شده سه رقم انتخاب می‌کنیم و برای هر انتخاب دقیقاً یک عدد مجاز داریم:
$\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!\,4!}=\frac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=35$

پاسخ: گزینهٔ ۴

گام اول: شرط مسئله را بنویسیم.
اگر تعداد سکه‌هایی که رو می‌آیند $R$ و عدد روی تاس $D$ باشد، باید داشته باشیم:
$R=3D$
تعداد روها حداکثر $3$ و عدد تاس دست‌کم $1$ است؛ بنابراین تنها امکان، $D=1$ و $R=3$ است. یعنی تاس باید عدد $1$ را نشان دهد و هر سه سکه رو بیایند.

گام دوم: همهٔ حالت‌های ممکن را بشماریم.
مطابق روش نمودار درختیِ پرتاب سه سکه، هر سکه دو نتیجه دارد؛ پس تعداد آرایش‌های سه سکه برابر است با:
$2\times2\times2=8$
(ریاضی هشتم، صفحه‌های ۱۳۳–۱۳۴)
برای هر یک از شش نتیجهٔ تاس، این هشت آرایش ممکن است؛ بنابراین تعداد کل حالت‌ها برابر است با:
$6\times8=48$
این همان روش ترکیب حالت‌هاست که در تمرین هم‌زمانِ تاس و چرخنده نیز به کار می‌رود (ریاضی هشتم، صفحه‌های ۱۳۴–۱۳۵).

گام سوم: احتمال را حساب کنیم.
با فرض معمولِ سالم بودن تاس و سکه‌ها و مستقل بودن نتیجهٔ پرتاب‌ها، این حالت‌ها هم‌شانس‌اند. فقط یک حالت مطلوب داریم: «تاس برابر $1$، سکه‌ها رو ـ رو ـ رو». پس:
$P=\frac{\text{تعداد حالت‌های مطلوب}}{\text{تعداد کل حالت‌های هم‌شانس}}=\frac{1}{48}$

پاسخ: گزینهٔ ۳

نکتهٔ مهم: برای رسیدن به پاسخ موردنظر، باید قبولی نیلوفر و دوستش را مستقل فرض کنیم. این فرض در صورت سؤال تصریح نشده است و بدون آن، اطلاعات داده‌شده برای تعیین یک پاسخ یکتا کافی نیست. حل زیر با فرض استقلال انجام می‌شود؛ موضوع پیشامدهای مستقل در همین بخش کتاب مطرح شده است (ریاضی ۲، صفحه‌های ۱۵۲–۱۵۳).

۱. پیشامد قبولی نیلوفر را $A$ و پیشامد قبولی دوستش را $B$ می‌نامیم. اگر $P(B)=x$ باشد، طبق صورت سؤال داریم:
$P(A)=\frac{2}{3}x$.

۲. عبارت «فقط دوستش قبول شود» به معنی وقوع $B$ و رخ‌ندادن $A$ است؛ یعنی $A^c\cap B$. با فرض استقلال:
$P(A^c\cap B)=P(A^c)P(B)=(1-\frac{2}{3}x)x$.
پس:
$x(1-\frac{2}{3}x)=\frac{3}{8}$.

۳. معادله را حل می‌کنیم:
$24x-16x^2=9$
$16x^2-24x+9=0$
$(4x-3)^2=0$.
بنابراین:
$P(B)=x=\frac{3}{4}$،
$P(A)=\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{2}$.

۴. «هیچ‌کدام قبول نشوند» یعنی هر دو مردود شوند. احتمال مردودی هر نفر برابر متمم احتمال قبولی اوست؛ بنابراین با فرض استقلال:
$P(A^c\cap B^c)=(1-P(A))(1-P(B))$
$=(1-\frac{1}{2})(1-\frac{3}{4})=\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$.

پاسخ: گزینهٔ ۲

۱. تعیین سر مشترک و تبدیل نسبت‌ها به کسر
بدون کاستن از کلیت مسئله، فرض می‌کنیم هر دو نقطه به سر $A$ نزدیک‌ترند. طول پاره‌خط را $AB=x$ می‌گیریم.

نقطهٔ $M$ پاره‌خط را به نسبت $1:5$ تقسیم می‌کند؛ پس کل پاره‌خط شامل $1+5=6$ سهم است و داریم:
$AM=\frac{1}{6}x$.

برای نقطهٔ $N$ نیز نسبت تقسیم $3:4$ است؛ بنابراین:
$AN=\frac{3}{3+4}x=\frac{3}{7}x$.

۲. نوشتن رابطهٔ فاصلهٔ دو نقطه
چون $\frac{1}{6}<\frac{3}{7}$، ترتیب نقاط به‌صورت $A,M,N,B$ است. طبق رابطهٔ جمع طول پاره‌خط‌های متوالی، $AM+MN=AN$؛ بنابراین فاصلهٔ دو نقطه از تفاضل فاصله‌هایشان تا سر مشترک به دست می‌آید (ریاضی هفتم، صفحهٔ ۴۲):
$MN=AN-AM$.