سوال ۱۳۱ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت اول با پاسخ تشریحی

آهنگ متوسط تغییر برابر نسبت تغییر مقدار تابع به طول بازه است و آهنگ لحظه‌ای تغییر در هر نقطه، مقدار مشتق در آن نقطه است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۹۵).

گام اول: محاسبهٔ آهنگ متوسط تغییر

مقادیر تابع در دو سر بازه عبارت‌اند از:
$f(1)=1-a,\qquad f(3)=1-\frac{a}{3}$

پس آهنگ متوسط تغییر در بازهٔ $[1,3]$ برابر است با:
$\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{(1-\frac{a}{3})-(1-a)}{2}=\frac{\frac{2a}{3}}{2}=\frac{a}{3}$

گام دوم: محاسبهٔ آهنگ لحظه‌ای تغییر

با استفاده از مشتق تابع معکوس و قواعد مشتق‌گیری (ریاضی ۳، صفحه‌های ۸۶–۸۷)، داریم:
$f(x)=1-ax^{-1}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=ax^{-2}=\frac{a}{x^2}$

گام سوم: برابر قرار دادن دو آهنگ تغییر

اگر طول نقطهٔ موردنظر را $c$ بنامیم، باید داشته باشیم:
$f'(c)=\frac{a}{3}\quad\Rightarrow\quad\frac{a}{c^2}=\frac{a}{3}$

چون $a\ne0$ است، دو طرف را بر $a$ تقسیم می‌کنیم:
$\frac{1}{c^2}=\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad c^2=3\quad\Rightarrow\quad c=\pm\sqrt{3}$

از میان این دو مقدار، $\sqrt{3}$ در بازهٔ $[1,3]$ قرار دارد و در گزینه‌ها نیز آمده است. بنابراین آهنگ لحظه‌ای در این نقطه با آهنگ متوسط بازه برابر است.

پاسخ: گزینهٔ ۲