دانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه بگیر، و اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسد ۲ میلیون تومان دیگرجدول دانشگاه‌هادانشجو؟ ۵۰۰ هزار تومان هدیه همین حالادانشجو؟ با کارت دانشجویی یا ایمیل دانشگاهی ۵۰۰٬۰۰۰ تومان هدیه همین حالا، و ۲ میلیون تومان دیگر اگر دانشگاهت تا ۱۶ آذر به ۵۰ دانشجوی فعال برسدجدول دانشگاه‌ها
1xAi
کنکور تجربی ۱۴۰۵ · ریاضی

سوال ۱۲۵ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۲۵ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۵، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۲۵ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۵ · سوال ۱۲۵ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۴: مشتق

اختلاف شیب نیم‌مماس‌های چپ و راست بر منحنی y=∣x2−4∣y=|x^2-4| در x=2x=2 کدام است؟

  1. گزینهٔ ۱: 88
  2. گزینهٔ ۲: 66
  3. گزینهٔ ۳: 44
  4. گزینهٔ ۴: 33
نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

طبق تعریف کتاب، شیب نیم‌مماس چپ برابر مشتق چپ و شیب نیم‌مماس راست برابر مشتق راست تابع است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۷۹–۸۰).

ابتدا تابع را در همسایگی x=2x=2 بدون قدرمطلق می‌نویسیم. در سمت چپ و نزدیک این نقطه، x2−4<0x^2-4<0 و در سمت راست آن، x2−4>0x^2-4>0 است؛ بنابراین:
f(x)={4−x2−2<x<2,x2−4x>2.f(x)=\begin{cases}4-x^2&-2<x<2,\\x^2-4&x>2.\end{cases}
همچنین f(2)=0f(2)=0 است.

شیب نیم‌مماس چپ را با تعریف مشتق چپ به دست می‌آوریم:
mچپ=f−′(2)=lim⁡x→2−4−x2x−2=lim⁡x→2−[−(x+2)]=−4.m_{\text{چپ}}=f'_-(2)=\lim_{x\to2^-}\frac{4-x^2}{x-2}=\lim_{x\to2^-}[-(x+2)]=-4.

به همین ترتیب، شیب نیم‌مماس راست برابر است با:
mراست=f+′(2)=lim⁡x→2+x2−4x−2=lim⁡x→2+(x+2)=4.m_{\text{راست}}=f'_+(2)=\lim_{x\to2^+}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2^+}(x+2)=4.

پس دو نیم‌مماس شیب‌های متناهی و نابرابر دارند؛ یعنی نمودار در این نقطه گوشه دارد (ریاضی ۳، صفحهٔ ۸۰–۸۲). اختلاف دو شیب، یعنی شیب بزرگ‌تر منهای شیب کوچک‌تر، برابر است با:
Δm=4−(−4)=8.\Delta m=4-(-4)=8.

پاسخ: گزینهٔ ۱

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

  • گزینهٔ ۲: ممکن است با فراموش‌کردن ضریب در مشتق یکی از شاخه‌ها، شیب‌ها به‌اشتباه −2-2 و 44 به دست آیند و اختلافشان 66 شود؛ اما شیب‌های درست −4-4 و 44 هستند.
  • گزینهٔ ۳: عدد 44 اندازهٔ شیب هر یک از نیم‌مماس‌هاست، نه اختلاف شیب آن‌ها. چون دو شیب علامت مخالف دارند، برای یافتن اختلاف باید اندازه‌هایشان را جمع کرد.
  • گزینهٔ ۴: ممکن است این عدد از خطا در تجزیه و ساده‌کردن خارج‌قسمت تفاضلی به دست آید؛ تجزیهٔ درست x2−4=(x−2)(x+2)x^2-4=(x-2)(x+2) است و حدهای یک‌طرفه، شیب‌هایی با اندازهٔ 44 می‌دهند، نه 33.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

  1. به یاد بیاورید که شیب نیم‌مماس چپ و راست، به‌ترتیب برابر مشتق چپ و راست تابع است؛ لازم نیست مشتق دوطرفه وجود داشته باشد.
  2. علامت عبارت داخل قدرمطلق را در دو سوی x=2x=2 بررسی کنید. در همسایگی این نقطه، شاخهٔ چپ 4−x24-x^2 و شاخهٔ راست x2−4x^2-4 است.
  3. با توجه به f(2)=0f(2)=0، خارج‌قسمت تفاضلی در سمت چپ به −(x+2)-(x+2) و در سمت راست به x+2x+2 ساده می‌شود. حدهای یک‌طرفه را بگیرید و سپس اختلاف دو شیبِ با علامت مخالف را حساب کنید.

ریاضی ۳ · فصل ۴: مشتق

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «مشتق» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگانتمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۵

تمرین رایگان
تمرین در پنل یادگیری