سوال ۱۲۵ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

فرض کنیم نقطهٔ تماس $T(t,f(t))$ باشد. چون این نقطه در ناحیهٔ اول است، باید $t>0$ و $f(t)>0$ باشد.

۱. تعیین شرط شیب

طبق کتاب، مشتق تابع در نقطهٔ تماس برابر شیب خط مماس است (ریاضی ۳، صفحه‌های ۷۳ و ۷۴). خط داده‌شده را به صورت زیر می‌نویسیم:
$7y-x=5\quad\Rightarrow\quad y=\frac{x+5}{7}$
پس شیب آن $\frac{1}{7}$ است. از طرفی، با قاعدهٔ مشتق خارج‌قسمت داریم:
$f'(x)=\frac{a(3x+1)-3(ax-1)}{(3x+1)^2}=\frac{a+3}{(3x+1)^2}$
بنابراین در نقطهٔ تماس:
$\frac{a+3}{(3t+1)^2}=\frac{1}{7}\quad\Rightarrow\quad a+3=\frac{(3t+1)^2}{7}$

۲. استفاده از قرارداشتن نقطهٔ تماس روی خط و منحنی

چون نقطهٔ تماس روی خط است:
$f(t)=\frac{t+5}{7}\quad\Rightarrow\quad f(t)+1=\frac{t+12}{7}$
همچنین از رابطهٔ تابع داریم:
$f(t)+1=\frac{at-1}{3t+1}+1=\frac{t(a+3)}{3t+1}$
اکنون رابطهٔ به‌دست‌آمده از شرط شیب را جای‌گذاری می‌کنیم:
$\frac{t+12}{7}=\frac{t}{3t+1}\times\frac{(3t+1)^2}{7}=\frac{t(3t+1)}{7}$
پس:
$t+12=3t^2+t\quad\Rightarrow\quad t^2=4\quad\Rightarrow\quad t=\pm2$
از آنجا که نقطهٔ تماس در ناحیهٔ اول است، فقط $t=2$ پذیرفتنی است.

۳. محاسبه و بررسی پارامتر

با جای‌گذاری در شرط شیب:
$a+3=\frac{(3\times2+1)^2}{7}=7\quad\Rightarrow\quad a=4$
عرض نقطهٔ تماس نیز برابر است با:
$f(2)=\frac{2+5}{7}=1>0$
پس نقطهٔ تماس $(2,1)$ واقعاً در ناحیهٔ اول قرار دارد و همهٔ شرط‌های سؤال برقرار است.

پاسخ: گزینهٔ ۲