سوال ۱۴۵ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

۱. تعیین نقطهٔ نیازمند بررسی

هر دو شاخهٔ تابع چندجمله‌ای‌اند؛ بنابراین خارج از $x=k$ مشتق‌پذیرند و فقط باید اتصال آن‌ها را در این نقطه بررسی کنیم. مطابق مبحث مشتق‌پذیری، مشتق‌پذیری در محل اتصال مستلزم پیوستگی و برابر بودن مشتق‌های چپ و راست است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۸۸–۸۹).

۲. استفاده از برابری مشتق‌های یک‌طرفه

با قواعد مشتق‌گیری چندجمله‌ای‌ها داریم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۸۶–۸۷):
$g'(x)=2ax+b,\qquad g''(x)=2a$.

شاخهٔ راستِ $f$ برابر $g$ و شاخهٔ چپ آن برابر $g'$ است. پس با در نظر گرفتن پیوستگی در محل اتصال، برابری مشتق‌های یک‌طرفه می‌دهد:
$g'(k)=g''(k)\Rightarrow 2ak+b=2a$.

بنابراین:
$b=2a(1-k)$.

۳. استفاده از پیوستگی

چون $f(k)=g(k)$ است، پیوستگی در محل اتصال ایجاب می‌کند:
$g(k)=g'(k)\Rightarrow ak^2+bk+c=2ak+b$.

از مرحلهٔ قبل می‌دانیم $2ak+b=2a$؛ پس:
$c=2a-ak^2-bk$.

با جای‌گذاری عبارت $b$:
$c=2a-ak^2-2ak(1-k)=a(k^2-2k+2)$.

۴. اعمال شرط داده‌شده و یافتن بیشترین مقدار

اکنون شرط $b+c=a$ را به کار می‌بریم:
$2a(1-k)+a(k^2-2k+2)=a$.

چون $a\ne0$، دو طرف را بر $a$ تقسیم می‌کنیم:
$k^2-4k+4=1\Rightarrow (k-2)^2=1$.

پس:
$k=1\quad\text{یا}\quad k=3$.

هر دو مقدار قابل تحقق‌اند و بزرگ‌ترِ آن‌ها $3$ است. برای اطمینان از تحقق این مقدار، می‌توان $a=1$، $b=-4$ و $c=5$ را انتخاب کرد؛ در این صورت $b+c=a$ و در $k=3$ نیز $g(3)=g'(3)=2$ و $g''(3)=2$ است. بنابراین تابع در محل اتصال هم پیوسته و هم مشتق‌پذیر است.

پاسخ: گزینهٔ ۳