کنکور تجربی ۱۴۰۵ · ریاضی

سوال ۱۲۶ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

سوال ۱۲۶ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۵، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۲۶ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۵ · سوال ۱۲۶ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۴: مشتق

یک توده باکتری پس از t ساعت دارای جرم $m(t)=\frac{9t+3}{\sqrt{t}}$ گرم است. آهنگ رشد جرم توده باکتری در لحظه $t=1$ چند گرم است؟

گزینهٔ ۱: $17$
گزینهٔ ۲: $7/5$
گزینهٔ ۳: $3$
گزینهٔ ۴: $1/5$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۳ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

۱. تشخیص کمیت خواسته‌شده

آهنگ رشد جرم در یک لحظه، همان مشتق جرم نسبت به زمان در آن لحظه است؛ بنابراین باید $m'(1)$ را حساب کنیم، نه $m(1)$ را (ریاضی ۳، صفحهٔ ۹۵).

۲. مشتق‌گیری از تابع جرم

برای $t>0$ داریم:
$m(t)=\frac{9t+3}{\sqrt{t}}$ .

با استفاده از قاعدهٔ مشتق خارج‌قسمت و رابطهٔ $(\sqrt{t})'=\frac{1}{2\sqrt{t}}$ (ریاضی ۳، صفحهٔ ۸۶–۸۷):

$m'(t)=\frac{9\sqrt{t}-(9t+3)\frac{1}{2\sqrt{t}}}{(\sqrt{t})^2}=\frac{9\sqrt{t}-\frac{9t+3}{2\sqrt{t}}}{t}$ .

۳. محاسبه در لحظهٔ خواسته‌شده

$m'(1)=\frac{9-\frac{9+3}{2}}{1}=9-6=3$ .

چون جرم برحسب گرم و زمان برحسب ساعت است، واحد آهنگ رشد، $\frac{\text{گرم}}{\text{ساعت}}$ است. پس در این لحظه جرم توده با آهنگ $3\,\frac{\text{گرم}}{\text{ساعت}}$ افزایش می‌یابد؛ هرچند در صورت سؤال واحد آهنگ به‌اختصار «گرم» آمده است.

پاسخ: گزینهٔ ۳

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۱: این گزینه ممکن است بر اثر اجرای نادرست قاعدهٔ مشتقِ خارج‌قسمت انتخاب شود. مشتقِ کسر برابر با تقسیم مشتق‌های صورت و مخرج نیست و باید اثر تغییر هر دو را در نظر گرفت.
گزینهٔ ۲: خطا در مشتق‌گیری از رادیکال یا ساده‌سازی کسرها می‌تواند باعث انتخاب این گزینه شود. باید از رابطهٔ $(\sqrt{t})'=\frac{1}{2\sqrt{t}}$ استفاده کرد و جملهٔ مربوط به مشتق مخرج را با علامت منفی نوشت.
گزینهٔ ۴: این گزینه می‌تواند حاصل اشتباه در ضرایب هنگام مشتق‌گیری باشد. با اینکه مشتقِ عدد ثابتِ صورت صفر است، خودِ این عدد در جملهٔ مربوط به مشتق مخرج باقی می‌ماند و نمی‌توان آن را از محاسبه حذف کرد.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

طبق تعریف آهنگ تغییر لحظه‌ای، باید مشتق تابع جرم را در زمان خواسته‌شده پیدا کنید، نه مقدار خودِ جرم را.
تابع جرم یک خارج‌قسمت است؛ برای مشتق‌گیری، مشتق صورت و مشتق مخرج را جداگانه به دست آورید. مشتق مخرج برابر با $\frac{1}{2\sqrt{t}}$ است.
پس از استفاده از قاعدهٔ مشتق خارج‌قسمت و جای‌گذاری زمان داده‌شده، محاسبه به عبارت $9-\frac{9+3}{2}$ می‌رسد؛ آن را ساده کنید.

ریاضی ۳ · فصل ۴: مشتق

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «مشتق» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگان تمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۵

تمرین رایگان

تمرین در پنل یادگیری