سوال ۱۲۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۵ با پاسخ تشریحی

ابتدا عبارت داخل قدرمطلق را در نظر می‌گیریم:
$g(x)=2x^2-9x+a$.

گام اول: دو مینیمم نسبی چگونه ایجاد می‌شوند؟
طبق تعریف مینیمم نسبی، مقدار تابع در یک نقطه باید از مقادیر نقاط یک همسایگیِ آن بیشتر نباشد (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۴–۱۰۵). چون $f(x)=|g(x)|\geq 0$، هر ریشهٔ داخلیِ $g$ یک مینیمم نسبی برای $f$ ایجاد می‌کند. وجودنداشتن مشتق در این نقاط مانع مینیمم‌بودن نیست؛ نمونهٔ این موضوع در تابع قدرمطلق کتاب آمده است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۷).

سهمیِ $g$ رو به بالاست و طول رأس آن برابر است با:
$x_v=\frac{9}{4}\in(1,4)$.
اگر سهمی دو ریشهٔ متمایز داشته باشد، بین آن‌ها منفی است؛ بنابراین قدرمطلق، بخش منفی را به بالای محور قرینه می‌کند. در نتیجه دو ریشه، مینیمم نسبی و رأس، ماکزیمم نسبی می‌شود. اگر ریشهٔ مضاعف داشته باشد یا اصلاً ریشه نداشته باشد، فقط یک مینیمم در رأس خواهیم داشت.

پس برای داشتن دو مینیمم نسبی در بازهٔ داده‌شده، لازم و کافی است هر دو ریشهٔ متمایز درون بازهٔ $(1,4)$ باشند. سرهای بازه، طبق تعریف مبتنی بر همسایگیِ کتاب، مینیمم نسبیِ تابعِ محدودشده به بازه به شمار نمی‌آیند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۴–۱۰۵).

گام دوم: شرط قرارگرفتن ریشه‌ها درون بازه
چون رأس داخل بازه و سهمی رو به بالاست، باید مقدار سهمی در رأس منفی و در هر دو سر بازه مثبت باشد:
$g(1)>0,\qquad g(4)>0,\qquad g\left(\frac94\right)<0$.

این سه شرط را محاسبه می‌کنیم:
$g(1)=a-7>0\quad\Longrightarrow\quad a>7$،

$g(4)=a-4>0\quad\Longrightarrow\quad a>4$،

$g\left(\frac94\right)=a-\frac{81}{8}<0\quad\Longrightarrow\quad a<\frac{81}{8}$.

با اشتراک شرط‌ها داریم:
$7<a<\frac{81}{8}$.

گام سوم: شمارش مقادیر طبیعی
چون $\frac{81}{8}=10.125$، مقادیر طبیعیِ مجاز عبارت‌اند از:
$a\in\{8,9,10\}$.

بنابراین تعداد مقادیر برابر با $3$ است.

پاسخ: گزینهٔ ۲