سوال ۱۲۴ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

گام اول: اطلاعات نقطهٔ ماکزیمم را استخراج می‌کنیم.
طبق شکل، نقطهٔ ماکزیمم روی محور عمودی و دارای عرض $4$ است؛ بنابراین $f(0)=4$ و در نتیجه $c=4$. همچنین، چون تابع چندجمله‌ای و مشتق‌پذیر است، مشتق آن در نقطهٔ اکسترمم نسبی صفر می‌شود (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۷–۱۰۸). پس با توجه به $f'(x)=3x^2+2ax+b$ داریم $f'(0)=b=0$. بنابراین تابع به صورت $f(x)=x^3+ax^2+4$ درمی‌آید.

گام دوم: شرط‌های نقطهٔ مینیمم را می‌نویسیم.
طول این نقطه را $t$ می‌نامیم. طبق شکل، $t>0$ است و نقطهٔ مینیمم روی محور افقی قرار دارد؛ پس $f(t)=0$. دقت کنید که سؤال طول نقطهٔ مینیمم، یعنی $t$، را می‌خواهد، نه مقدار مینیمم، یعنی $f(t)$ را؛ این دو مفهوم در تعریف اکسترمم نسبی از هم متمایزند (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۴–۱۰۵).
از شرط صفر بودن مشتق نیز داریم:
$f'(t)=3t^2+2at=t(3t+2a)=0$.
چون $t>0$، نتیجه می‌شود $3t+2a=0$، یعنی $a=-\frac{3t}{2}$.

گام سوم: از قرار داشتن مینیمم روی محور افقی استفاده می‌کنیم.
با جای‌گذاری در شرط $f(t)=0$ داریم:
$t^3+at^2+4=0$،
$t^3-\frac{3t}{2}t^2+4=0$،
$-\frac{t^3}{2}+4=0$.
پس $t^3=8$ و در نتیجه $t=2$.

برای بررسی نوع اکسترمم، از $a=-3$ به $f'(x)=3x(x-2)$ می‌رسیم. مشتق در بازهٔ $(0,2)$ منفی و در بازهٔ $(2,+\infty)$ مثبت است؛ بنابراین در $x=2$ تغییر علامت از منفی به مثبت رخ می‌دهد و طبق آزمون مشتق اول، این نقطه واقعاً مینیمم نسبی است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۸–۱۰۹).

پاسخ: گزینهٔ ۲