سوال ۱۴۶ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۰ با پاسخ تشریحی

ابتدا قید هندسی را می‌نویسیم، سپس مساحت جانبی را به تابعی از یک متغیر تبدیل کرده و بیشینهٔ آن را با مشتق می‌یابیم؛ این همان روش بهینه‌سازی مطرح‌شده در کتاب است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۱۴).

گام اول: رابطهٔ شعاع و ارتفاع استوانه
شعاع قاعدهٔ استوانه را $r$، ارتفاع آن را $h$ و شعاع کره را $R=4\sqrt{2}$ می‌نامیم. مقطع گذرنده از محور استوانه، مستطیلی محاط در یک دایرهٔ عظیمهٔ کره است. با اتصال مرکز این مستطیل به یکی از رأس‌ها، مثلث قائم‌الزاویه‌ای داریم که ضلع‌های قائمش $r$ و $h/2$ و وترش $R$ است. بنابراین:
$r^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2=R^2=32$
پس:
$h=2\sqrt{32-r^2}$

گام دوم: نوشتن تابع هدف
مساحت جانبی استوانه برابر $S=2\pi rh$ است؛ دقت کنید که مساحت قاعده‌ها در آن وارد نمی‌شود (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۱۸). با جایگذاری ارتفاع:
$S(r)=4\pi r\sqrt{32-r^2},\qquad 0<r<4\sqrt{2}$

گام سوم: یافتن نقطهٔ بیشینه
مشتق تابع برابر است با:
$S'(r)=4\pi\left(\sqrt{32-r^2}-\frac{r^2}{\sqrt{32-r^2}}\right)=\frac{4\pi(32-2r^2)}{\sqrt{32-r^2}}$
در دامنهٔ مسئله مخرج مثبت است؛ پس:
$S'(r)=0\Rightarrow32-2r^2=0\Rightarrow r=4$
برای $0<r<4$ مشتق مثبت و برای $4<r<4\sqrt{2}$ مشتق منفی است؛ بنابراین تابع ابتدا صعودی و سپس نزولی است و در $r=4$ بیشینهٔ مطلق دارد. این بررسی تغییر علامت، مطابق روش کتاب برای تشخیص بیشینه است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۱۴).

گام چهارم: محاسبهٔ مساحت بیشینه
ارتفاع متناظر برابر است با:
$h=2\sqrt{32-16}=8$
در نتیجه:
$S_{\max}=2\pi\times4\times8=64\pi$

پاسخ: گزینهٔ ۲