کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول · ریاضی

سوال ۱۲۷ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول با پاسخ تشریحی

سوال ۱۲۷ دفترچهٔ اختصاصی کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول، با کلید رسمی سازمان سنجش. پاسخ تشریحی، دلیل نادرستی گزینه‌های دیگر و راهنمایی‌ها را هوش مصنوعی 1xAi بر پایهٔ همین کلید و متن کتاب درسی نوشته است.

سوال ۱۲۷ · ریاضی

کنکور تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول · سوال ۱۲۷ · کلید رسمی سازمان سنجش

ریاضی · ریاضی ۳ · فصل ۵: کاربرد مشتق

مقدار مینیمم نسبی تابع $y=x^3-12x+2$ ، کدام است؟

گزینهٔ ۱: $-14$
گزینهٔ ۲: $-11$
گزینهٔ ۳: $-9$
گزینهٔ ۴: $-7$

نمایش پاسخ و پاسخ تشریحی

پاسخ درست: گزینهٔ ۱ (کلید رسمی سازمان سنجش)

پاسخ تشریحی

تابع را به صورت $f(x)=x^3-12x+2$ در نظر می‌گیریم.

گام اول: یافتن نقاط بحرانی
طبق قضیهٔ اکسترمم نسبی، اگر تابع در نقطه‌ای مشتق‌پذیر باشد و اکسترمم نسبی داشته باشد، مشتق آن در آن نقطه صفر است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۶). تابع داده‌شده چندجمله‌ای است و در تمام اعداد حقیقی مشتق دارد؛ بنابراین:
$f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$
$f'(x)=0\Rightarrow x=-2\quad\text{یا}\quad x=2$

گام دوم: تشخیص نقطهٔ مینیمم نسبی
صفر شدن مشتق به‌تنهایی برای وجود اکسترمم کافی نیست؛ باید تغییر رفتار تابع را بررسی کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۷–۱۰۸).
برای $x<-2$ مشتق مثبت، برای $-2<x<2$ مشتق منفی و برای $x>2$ مشتق مثبت است. پس تابع در $x=-2$ از صعودی به نزولی و در $x=2$ از نزولی به صعودی تغییر می‌کند. بنابراین مینیمم نسبی در $x=2$ رخ می‌دهد.

گام سوم: محاسبهٔ مقدار مینیمم نسبی
مقدار مینیمم نسبی، مقدار تابع در نقطهٔ مینیمم است، نه طول آن نقطه (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۴–۱۰۵). در نتیجه:
$f(2)=2^3-12(2)+2=8-24+2=-14$

پاسخ: گزینهٔ ۱

چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

گزینهٔ ۲: این گزینه ممکن است بر اثر خطای محاسباتی در جای‌گذاری طول نقطهٔ مینیمم انتخاب شود؛ اما محاسبهٔ درست برابر است با $f(2)=8-24+2=-14$ ، نه $-11$ .
گزینهٔ ۳: با جای‌گذاری $x=1$ ، مقدار $f(1)=-9$ به دست می‌آید؛ اما صرفاً منفی بودن مقدار تابع نشانهٔ مینیمم نیست و چون $f'(1)=-9\ne0$ ، این نقطه اکسترمم نسبی نیست.
گزینهٔ ۴: این عدد مقدار تابع در $x=3$ است، زیرا $f(3)=27-36+2=-7$ ؛ اما $f'(3)=15\ne0$ ، پس این نقطه نمی‌تواند مینیمم نسبی تابع باشد.

راهنمایی قدم‌به‌قدم (پیش از دیدن پاسخ)

برای یافتن اکسترمم نسبی یک تابع چندجمله‌ای، ابتدا نقاط بحرانی را پیدا کن؛ تعریف این نقاط را در ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۶ مرور کن.
مشتق تابع برابر $f'(x)=3(x-2)(x+2)$ است. ریشه‌های مشتق را پیدا کن و با تعیین علامت آن، نقطه‌ای را مشخص کن که تابع در آن از نزولی به صعودی تغییر می‌کند.
در $x=2$ علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می‌کند. سؤال مقدار مینیمم را می‌خواهد، نه طول نقطهٔ آن؛ پس این طول را در خود تابع جای‌گذاری کن.

ریاضی ۳ · فصل ۵: کاربرد مشتق

نمونه سوال این فصل

سوال‌های رسمی دیگر کنکور تجربی از همین فصل:

فصل «کاربرد مشتق» را در پنل یادگیری تمرین کن

در پنل یادگیری 1xAi سوال‌هایی مثل همین را جواب می‌دهی و جوابت ثبت می‌شود؛ پیش از دیدن پاسخ، سه راهنمایی پله‌پله داری و معلم هوشمند بی‌آن‌که جواب را لو بدهد کمکت می‌کند. تمرین و آزمون رایگان است؛ معلم هوشمند هم سهمیهٔ روزانهٔ رایگان دارد.

تمرین رایگان تمرین در پنل یادگیری

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.

ریاضی · تجربی ۱۴۰۳ نوبت اول

تمرین رایگان

تمرین در پنل یادگیری