سوال ۱۲۵ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۱ با پاسخ تشریحی

گام اول ـ تشخیص اجزای مخروط:
پای عمود نقطهٔ $B$ بر خط $L$ را $H$ می‌نامیم. در دوران پاره‌خط، نقطهٔ $A$ رأس مخروط و دایرهٔ حاصل از دوران $B$، محیط قاعدهٔ آن است. بنابراین ارتفاع $h=AH$، شعاع قاعده $r=BH$ و طول مولد $AB=3\sqrt{3}$ است.
از قضیهٔ فیثاغورس در مثلث قائم‌الزاویهٔ $AHB$ داریم:
$r^2+h^2=(3\sqrt{3})^2=27$
پس:
$r^2=27-h^2,\qquad 0<h<3\sqrt{3}$.

گام دوم ـ تشکیل تابع حجم:
مطابق روش بهینه‌سازی کتاب، ابتدا با استفاده از محدودیت هندسی، حجم را به تابعی تک‌متغیره تبدیل می‌کنیم (ریاضی ۳، صفحات ۱۱۴–۱۱۵):
$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$
$V(h)=\frac{\pi}{3}(27-h^2)h=\frac{\pi}{3}(27h-h^3)$.

گام سوم ـ یافتن نقطهٔ بحرانی:
مشتق حجم نسبت به ارتفاع برابر است با:
$V'(h)=\frac{\pi}{3}(27-3h^2)=\pi(9-h^2)$.
بنابراین:
$V'(h)=0\Rightarrow h^2=9$.
چون ارتفاع مثبت است، تنها ریشهٔ مجاز $h=3$ است.

گام چهارم ـ بررسی بیشینه بودن:
برای $0<h<3$ مشتق مثبت و برای $3<h<3\sqrt{3}$ مشتق منفی است. پس حجم تا $h=3$ افزایش و پس از آن کاهش می‌یابد؛ بنابراین در این ارتفاع، بیشینهٔ مطلق حجم حاصل می‌شود. این همان روش تشخیص بیشینه با تغییر علامت مشتق از مثبت به منفی است که در کتاب به کار رفته است (ریاضی ۳، صفحات ۱۱۶–۱۱۷).
پس ارتفاع مخروط با بیشترین حجم برابر $3$ است.
پاسخ: گزینهٔ ۲