سوال ۱۳۳ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۴ نوبت دوم با پاسخ تشریحی

با صورت سؤال داده‌شده، پاسخ تأییدشده سازگار نیست و هیچ‌یک از گزینه‌ها مقدار دقیق کمینه را نشان نمی‌دهد.

گام اول ـ تشکیل تابع فاصله:
چون نقاط $A$ و $B$ روی خطی موازی محور $y$ها قرار دارند، طول آن‌ها یکسان است. پس می‌نویسیم:
$A=(x,x^3-2x-3)$ و $B=(x,x^3+x^2+1)$.
طول پاره‌خط عمودی برابر قدرمطلق تفاضل عرض‌هاست؛ بنابراین:
$AB=|(x^3+x^2+1)-(x^3-2x-3)|=|x^2+3x+4|$.

گام دوم ـ تعیین علامت عبارت:
با کامل کردن مربع داریم:
$x^2+3x+4=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{7}{4}>0$.
پس تابع فاصله در تمام اعداد حقیقی به صورت زیر است:
$d(x)=x^2+3x+4$.

گام سوم ـ یافتن و بررسی نقطهٔ بحرانی:
طبق مبحث نقاط بحرانی، اگر تابعی در نقطه‌ای مشتق‌پذیر باشد و در آن نقطه اکسترمم نسبی داشته باشد، مشتقش صفر است (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۶). بنابراین:
$d'(x)=2x+3=0\Rightarrow x=-\frac{3}{2}$.
صرف صفر شدن مشتق برای اثبات کمینه کافی نیست (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۰۷). در اینجا مشتق برای $x<-\frac{3}{2}$ منفی و برای $x>-\frac{3}{2}$ مثبت است؛ پس تابع ابتدا نزولی و سپس صعودی است و این نقطه، کمینهٔ مطلق فاصله را به دست می‌دهد.

گام چهارم ـ محاسبهٔ مقدار کمینه:
$d(-\frac{3}{2})=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+4=\frac{7}{4}$.
همچنین شکل کامل‌شدهٔ مربع مستقیماً نشان می‌دهد که $d(x)\geq\frac{7}{4}$ و برابری در $x=-\frac{3}{2}$ برقرار است.

بنابراین کمترین طول برابر $\frac{7}{4}$ است، نه $3$؛ لازم است صورت سؤال، گزینه‌ها یا کلید بازبینی شود.
پاسخ: هیچ‌یک از گزینه‌ها.