سوال ۱۲۸ ریاضی کنکور تجربی ۱۴۰۲ نوبت اول با پاسخ تشریحی

ابتدا باید بیشترین و کمترین مقدار تابع را روی دامنهٔ آن پیدا کنیم. مطابق روش کتاب، برای تابع پیوسته روی بازهٔ بسته، مقدار تابع را در نقاط بحرانی و دو سر بازه محاسبه و مقایسه می‌کنیم (ریاضی ۳، صفحهٔ ۱۱۱).

گام اول: تعیین دامنه
برای تعریف شدن هر دو رادیکال باید داشته باشیم:
$x\geq0,\qquad a-2x\geq0.$
پس با توجه به $a>0$، دامنه برابر است با:
$D_f=[0,a/2].$
تابع روی این بازه پیوسته است؛ بنابراین بیشینه و کمینهٔ مطلق دارد.

گام دوم: یافتن نقطهٔ بحرانی درون دامنه
برای $0<x<a/2$ داریم:
$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}-\frac{1}{\sqrt{a-2x}}.$
بنابراین:
$f'(x)=0\ \Longrightarrow\ \sqrt{a-2x}=2\sqrt x$
$\Longrightarrow\ a-2x=4x\ \Longrightarrow\ x=\frac a6.$
چون $a>0$ است، این نقطه درون دامنه قرار دارد.

گام سوم: مقایسهٔ مقدار تابع در نقاط موردنظر
در دو سر دامنه داریم:
$f(0)=\sqrt a,\qquad f\left(\frac a2\right)=\sqrt{\frac a2}.$
در نقطهٔ بحرانی نیز:
$f\left(\frac a6\right)=\sqrt{\frac a6}+\sqrt{\frac{2a}{3}}=3\sqrt{\frac a6}=\sqrt{\frac{3a}{2}}.$
از آنجا که $a>0$، ترتیب این مقدارها چنین است:
$\sqrt{\frac a2}<\sqrt a<\sqrt{\frac{3a}{2}}.$
پس:
$f_{\min}=\sqrt{\frac a2},\qquad f_{\max}=\sqrt{\frac{3a}{2}}.$

گام چهارم: استفاده از حاصل‌ضرب داده‌شده
طبق صورت سؤال:
$\sqrt{\frac a2}\times\sqrt{\frac{3a}{2}}=\sqrt{12}.$
چون $a>0$، نتیجه می‌شود:
$\frac{a\sqrt3}{2}=2\sqrt3\ \Longrightarrow\ a=4.$
نماد $[a]$ جزء صحیح عدد است؛ بنابراین:
$[a]=[4]=4.$

پاسخ: گزینهٔ ۲